Question

4．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，$\frac{5}{2}$）直線y=kx-$\frac{3}{2}$過點A與y軸交于點C與拋物線的另一個交點是D．
（1）求拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c與直線y=kx-$\frac{3}{2}$的解析式；
（2）設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設(shè)△PMN的周長為L，點P的橫坐標為x，求L與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出L的最大值．

Answer 1

分析 （1）將A，B兩點分別代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c進而求出解析式即可；
（2）首先假設(shè)出P，M點的坐標，進而得出PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點坐標，進而得出CE的長，利用平行四邊形的性質(zhì)得出PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的長，進而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長之比，求出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c經(jīng)過點A（2，0）和B（0，$\frac{5}{2}$），
∴由此得 $\left\{\begin{array}{l}{-1+2b+c=0}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
∵直線y=kx-$\frac{3}{2}$經(jīng)過點A（2，0）
∴2k-$\frac{3}{2}$=0，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線的解析式是y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，

（2）設(shè)P的坐標是（x，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$），則M的坐標是（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）
∴PM=（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$）-（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
解方程  $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=-7\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∵點D在第三象限，則點D的坐標是（-8，-7$\frac{1}{2}$），由y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$得點C的坐標是（0，-$\frac{3}{2}$），
∴CE=-$\frac{3}{2}$-（-7$\frac{1}{2}$）=6，
由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=6
解這個方程得：x₁=-2，x₂=-4，
符合-8＜x＜2，
當x=-2時，y=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{3}{4}$×（-2）+$\frac{5}{2}$=3，
當x=-4時，y=-$\frac{1}{4}$×（-4）²-$\frac{3}{4}$×（-4）+$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點P的坐標是（-2，3）和（-4，$\frac{3}{2}$）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴△CDE的周長是24，
∵PM∥y軸，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴$\frac{{△}_{PMN}的周長}{{△}_{CDE}的周長}$=$\frac{PM}{DC}$，即$\frac{l}{24}$=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+4}{10}$，
化簡整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：l=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$，
l=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$=-$\frac{3}{5}$（x+3）²+25，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，
∴l(xiāng)有最大值，
當x=-3時，l的最大值是25．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出PM=CE進而得出等式是解題關(guān)鍵．