Question

12．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將△ABC折疊，使頂點(diǎn)B落在線段AC上的點(diǎn)D處，折痕為EF，如果△DEF為等腰三角形，則BE的長(zhǎng)為4-2$\sqrt{2}$或1或2．

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DF=BF，BE=DE，∠FDE=∠B=45°，①當(dāng)DF=DE時(shí)，則四邊形DEBF是菱形，由平行線的性質(zhì)得到∠DEC=∠B=45°，推出△DEC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BE=DE=$\sqrt{2}$CE，于是得到BE=4-2$\sqrt{2}$，②當(dāng)DE=EF時(shí)，即BE=EF，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到D與C重合，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$BC=1，③當(dāng)DF=EF時(shí)，即EF=BF，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，E與C重合．

解答 解：∵將△ABC折疊，使頂點(diǎn)B落在線段AC上的點(diǎn)D處，
∴DF=BF，BE=DE，∠FDE=∠B=45°，
①當(dāng)DF=DE時(shí)，則四邊形DEBF是菱形，
∴DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴BE=DE=$\sqrt{2}$CE，
∵BC=2，∴CE+$\sqrt{2}$CE=2，
∴CE=2$\sqrt{2}$-2，
∴BE=4-2$\sqrt{2}$，
②當(dāng)DE=EF時(shí)，即BE=EF，
∵∠B=45°，∴∠FEB=90°，
∴D與C重合，
∴E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
③當(dāng)DF=EF時(shí)，即EF=BF，
∵∠B=45°，
∴∠FEB=45°，
∴∠EFD=90°，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，E與C重合，
∴BE=BC=2，
故BE的長(zhǎng)為4-2$\sqrt{2}$或1或2，．
故答案為：4-2$\sqrt{2}$或1或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．