Question

18．如圖1所示，以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外分別作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，連接DF、EF．
（1）若AB=AC，試說明DF=EF；
（2）若∠BAC=90°，如圖2所示，試說明DF⊥EF；
（3）若∠BAC為鈍角，如圖3所示，則DF與EF存在什么數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別取AB、AC中點(diǎn)M、N，連接MF、NF，再連接DM、EN，利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MFNA為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△DMF≌△ENF即可；
（2）如圖2，連接AF根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD，AE=CE，由直角三角形的性質(zhì)得到AF=BF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF垂直平分AB，同理EF垂直平分AC，求得∠AMF=∠ANF=90°，推出四邊形AMFN是矩形，于是得到結(jié)論；
（3）DF=EF，DF⊥EF，如圖3，分別取AB、AC中點(diǎn)M、N，連接MF、NF，再連接DM、EN，利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MFNA為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△DMF≌△ENF由全等三角形的性質(zhì)得到DF=EF，∠MDF=∠NFE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AMF+∠MFN=180°，由三角形的內(nèi)角和得到∠MDF+∠DMF+∠DFF=180°，等量代換得到∠DFE=∠DMA，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，分別取AB、AC中點(diǎn)M、N，連接MD、NE，再連接FM、FN，
∵F為BC邊的中點(diǎn)，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN是△ABC的中位線．
∴FN=$\frac{1}{2}$AB，
∴DM=FN=$\frac{1}{2}$AB，EN=MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四邊形AMFN為平行四邊形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF與△ENF中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠FNE}\\{MF=EN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF；

（2）如圖2，連接AF，∵等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，
∴AD=BD，AE=CE，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∴DF垂直平分AB，
同理EF垂直平分AC，
∴∠AMF=∠ANF=90°，
∴四邊形AMFN是矩形，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF；

（3）DF=EF，DF⊥EF，
如圖3，分別取AB、AC中點(diǎn)M、N，連接MD、NE，再連接FM、FN，
∵F為BC邊的中點(diǎn)，∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN是△ABC的中位線．
∴FN=$\frac{1}{2}$AB，
∴DM=FN=$\frac{1}{2}$AB，EN=MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴FN∥AM且FN=AM，
∴四邊形AMFN為平行四邊形，
∴∠AMF=∠ANF．
∵∠AMD=∠ANE=90°，
∴∠EMD=∠FND，
在△DMF與△ENF中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠FNE}\\{MF=EN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△ENF（SAS）．
∴DF=EF，∠MDF=∠NFE，
∵AM∥NF，
∴∠AMF+∠MFN=180°，
∵∠DMF+∠MDF+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠DMA，
∵∠DMA=90°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．