Question

17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，AB與CD相交于點(diǎn)E，線段 OA，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x²-17x+60=0的兩根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E

（1）求k的值；
（2）若直線 AB與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上除點(diǎn)E外的另一交點(diǎn)為P，求四邊形ODEP的面積；
（3）在直線CD下方的反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使以點(diǎn)C、E、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積等于42？若存在，求出符合條件的點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)EF=3x，則BF=4x，由勾股定理求出x的值可得出EF及BF的長(zhǎng)，求出一元二次方程x²-17x+60=0的解可得出OA及OC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出OB的長(zhǎng)故可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得出k的值；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB與反比例函數(shù)的解析式可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線CD的解析式，利用S_{四邊形ODEP}=S_梯形EFOA-S_△DEF-S_△OAP可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸，交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)Q（m，$\frac{36}{m}$），則G（$\frac{12}{m}$-5，$\frac{36}{m}$），得出QG的長(zhǎng)，根據(jù)S_△CEQ=$\frac{1}{2}$QG•（y_E-y_C）可得出m的值，進(jìn)而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)EF=3x，則BF=4x．
∵BE=5，EF²+BF²=BE²，
∴（3x）²+（4x）²=5²，解得x₁=1，x₂=-1（舍去），
∴EF=3，BF=4．
解一元二次方程x²-17x+60=0得x₁=5，x₂=12，
∵OA＞OC，
∴OC=5，OA=12，
∴A（12，0），C（-5，0）．
在Rt△ABO中，
∵BO=$\frac{AO}{tan∠ABO}$=$\frac{12}{\frac{3}{4}}$=16，
∴OF=16-4=12，
∴E（3，12），
將E（3，12）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=36，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{36}{x}$；

（2）∵E（3，12），BF=4，
∴B（0，16）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（12，0），B（0，16）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}0=12k+b\\ 16=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=16\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+16，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+16\\ y=\frac{36}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3\\{y}_{1}=12\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=9\\{y}_{2}=4\end{array}\right.$，
∴P（9，4）．
設(shè)直線CD的解析式為y=ax+c（a≠0），
∵C（-5，0），（3，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=-5a+c\\ 12=3a+c\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=\frac{15}{2}\end{array}\right.$，
∴D（0，$\frac{15}{2}$），
∴S_{四邊形ODEP}=S_梯形EFOA-S_△DEF-S_△OAP
=$\frac{（3+12）×12}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×（12-$\frac{15}{2}$）-$\frac{1}{2}$×12×4
=$\frac{237}{4}$；

（3）存在．
如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸，交直線CD于點(diǎn)G，
∵設(shè)Q（m，$\frac{36}{m}$），則G（$\frac{12}{m}$-5，$\frac{36}{m}$），
∴QG=m-（$\frac{12}{m}$-5）=m-$\frac{12}{m}$+5，
∴S_△CEQ=$\frac{1}{2}$QG•（y_E-y_C）=$\frac{1}{2}$×（m-$\frac{12}{m}$+5）×12=42，
解得m₁=6，m₂=-4，
∴Q（6，6）或Q（-4，-9）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意作出輔助線，構(gòu)造出三角形求解．