Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形； 
（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；點P從B點出發(fā)，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC運動，點Q從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運動，當一個點先到達點C時另一點就停止運動．問從運動開始經(jīng)過多少時間，△BPQ的面積最大？

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠BAC=∠ACD，證明AB∥CD，然后證明△BAC≌△DCA得出AB=DC，最后根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得；
（2）分三種情況討論求得．

解答：（1）證明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，AC=CA，
∴△BAC≌△DCA，
∴AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；


（2）設從運動開始經(jīng)過t秒時，△BPQ的面積為S，
當0≤t≤

3

4

時，如圖2①，S=

1

2

BQ•PB=

1

2

×4t×t=2t²，S的最大值為

9

8

；
當

3

4

＜t2時，如圖2②，S=

1

2

（AP+BQ）•AB-

1

2

AP•AB=

1

2

（4t-3+t）×3-

1

2

（4t-3）×3=

3

2

t；S的最大值為3；
當2＜t≤

11

4

時，如圖2③，S=

1

2

BQ•PC=

1

2

t（11-4t）=-2t²+

11

2

t；無最大值；
所以S=

2t2   (0≤t≤ 3 4 ) 3 2 t    ( 3 4 ＜t≤2) -2t2+ 11 2 t    (2＜t≤ 11 4 )

，
所以當從運動開始經(jīng)過2秒時，△BPQ的面積最大的，其值為3cm²．

點評：此題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定、三角形的面積公式．能夠借助函數(shù)的知識討論圖形的面積最值問題．