Question

如圖1，直線L：y=mx+5m與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．

（1）當(dāng)OA=OB時，試確定直線L的解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖2，設(shè)Q為AB延長線上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的長；
（3）當(dāng)m取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以O(shè)B、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，如圖3．問：當(dāng)點B在 y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值？若是，請求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由直線L解析式，求出A與B坐標(biāo)，根據(jù)OA=OB，求出m的值，即可確定出直線L解析式；
（2）由OA=OB，對頂角相等，且一對直角相等，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對應(yīng)線段相等求長度；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，尋找相等線段，并進行轉(zhuǎn)化，求PB的長．

解答：解：（1）∵直線L：y=mx+5m，
∴A（-5，0），B（0，5m），
由OA=OB，得5m=5，m=1，
∴直線解析式為：y=x+5；
（2）在△AMO與△ONB中，

∠OAM=∠BON ∠AMO=∠BNO OA=OB

，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM=ON=4，
∴BN=OM=3，
則MN=OM+ON=4+3=7；
（3）如圖，作EK⊥y軸于K點，
∵△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBK+∠ABO=90°，
∵∠EBK+∠BEK=90°，
∴∠ABO=∠BEK，
在△AOB和△BKE中，

∠BKE=∠AOB=90° ∠ABO=∠BEK AB=BE

，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EK=BF，
在△EKP和△FBP中，

∠EKP=∠PBF=90° ∠KPE=∠BPF EK=FB

，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=

1

2

BK=

1

2

OA=

5

2

．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．