Question

10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)B作射線AP的垂線，D為垂足，設(shè)CP=t．
（1）當(dāng)t=4時(shí)，求$\frac{AP}{PD}$的值．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PA=PB？并求出此時(shí)$\frac{AP}{PD}$的值．
（3）用含t的代數(shù)式表示$\frac{AP}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到PB=8-4=4，根據(jù)勾股定理得到AP=4$\sqrt{2}$，通過(guò)△APC∽△BPD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PC}{PD}=\frac{AP}{PB}$，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$，由PA=PB，列方程$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$=8-t，解得t=3，通過(guò)△APC∽△BPD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PC}{PD}=\frac{PA}{PB}$，于是求得結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理得到AP=$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$，PB=8-t通過(guò)△ACP∽△BPD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PC}{PD}=\frac{PA}{PB}$，求出PD=$\frac{t（8-t）}{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CP=4，BC=8，
∴PB=8-4=4，
∵∠ACB=90°，AC=4，
∴AP=4$\sqrt{2}$，
∵∠C=∠D=90°，∠APC=∠BPD
∴△APC∽△BPD，
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{AP}{PB}$，
∴$\frac{4}{PD}=\frac{4\sqrt{2}}{4}$，
∴PD=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=2；

（2）∵CP=t，BC=8，
∴PB=8-t，
∵PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$，
當(dāng)PA=PB時(shí)，$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$=8-t，
解得：t=3，
∴t=3時(shí)，PA=PB；
∵t=3，∴PC=3，
∴PA=PB=5，
∵△APC∽△BPD，
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{PA}{PB}$，
∴PD=PC=3，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{5}{3}$；

（3）∵PC=t，AC=4，BC=8，
∴AP=$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$，PB=8-t，
∵△ACP∽△BPD，
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{PA}{PB}$，
∴PD=$\frac{t（8-t）}{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}$，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}{\frac{t（8-t）}{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}}$=$\frac{16+{t}^{2}}{8t-{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得△ACP∽△BPD是解題的關(guān)鍵，