【題目】拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)AB左邊),與y軸交于點(diǎn)C

1)如圖1,已知A(﹣1,0),B3,0).

①直接寫出拋物線的解析式;

②點(diǎn)Hx軸上,D1,0),連接AC,DCHC,若CD平分∠ACH,求點(diǎn)H的坐標(biāo);

2)如圖2,直線y=﹣1與拋物線y=﹣x2+bx+c交于點(diǎn)D,點(diǎn)ED關(guān)于x軸對(duì)稱.

①若點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),求證:DBAE

②若點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè),請(qǐng)直接判斷,BD是否垂直AE?

【答案】1)①y=﹣x2+2x+3;②點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0);(2)①見解析;②DBAE

【解析】

1)①用待定系數(shù)法解答便可;

②過DDEAC于點(diǎn)EDFCH于點(diǎn)F,求出DF,設(shè)Hm,0),再由三角形的面積公式列出m的方程進(jìn)行解答;

2)①設(shè)DEx軸的交點(diǎn)為G點(diǎn),連接DB,并延長(zhǎng)DBAE交于點(diǎn)H,運(yùn)用求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求出AB,D點(diǎn)坐標(biāo),求得DGBG、AG、EG,再證明DBG∽△AGE便可得結(jié)論;

②仿照上面方法便可得結(jié)論.

解:(1)①把A(﹣10),B30)代入y=﹣x2+bx+c,得

,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;

②過DDEAC于點(diǎn)EDFCH于點(diǎn)F,如圖1,

y=﹣x2+2x+3

C0,3),

OC3

A(﹣1,0),B30),D1,0),

OA1,OB3OD1,AD2,

,

,

CD平分∠ACH,

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m,0),則DHm1,,

,

,

m=﹣1(舍去),或,

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(,0);

2)①設(shè)DEx軸的交點(diǎn)為G點(diǎn),連接DB,并延長(zhǎng)DBAE交于點(diǎn)H,如圖2,

∵拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)AB左邊),

,,

∵直線y=﹣1與拋物線y=﹣x2+bx+c交于點(diǎn)D,點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),

D點(diǎn)的坐標(biāo)為,

∵點(diǎn)ED關(guān)于x軸對(duì)稱,

,DGEG1

,

,

,

∵∠DGB=∠AGE90°

∴△DGB∽△AGE,

∴∠BDG=∠EAG,

∵∠EAG+AEG90°,

∴∠BDG+AEG90°,

∴∠DHE90°,

DBAE;

BDAE.如圖3

∵拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)AB左邊),

,,

∵直線y=﹣1與拋物線y=﹣x2+bx+c交于點(diǎn)D,點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè),

D點(diǎn)的坐標(biāo)為,

∵點(diǎn)E,D關(guān)于x軸對(duì)稱,

,DGEG1

,

∵∠DGB=∠AGF90°,

∴△DGB∽△AGE

∴∠BDG=∠EAG,

∵∠EAG+AEG90°,

∴∠BDG+AEG90°

∴∠DHE90°,

DBAE

故答案是:(1)①y=﹣x2+2x+3;②點(diǎn)H的坐標(biāo)為(,0);(2)①見解析;②DBAE

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1和圖2,在△ABC中,AB13,BC14,.

探究:如圖1AHBC于點(diǎn)H,則AH___AC___,△ABC的面積___.

拓展:如圖2,點(diǎn)DAC上(可與點(diǎn)A、C重合),分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線,垂足為E、F,設(shè)BDx,AEmCFn,(當(dāng)點(diǎn)DA重合時(shí),我們認(rèn)為0.

1)用含x、mn的代數(shù)式表示;

2)求(m+n)x的函數(shù)關(guān)系式,并求(m+n)的最大值和最小值;

3)對(duì)給定的一個(gè)x值,有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D,指出這樣的x的取值范圍.

發(fā)現(xiàn):請(qǐng)你確定一條直線,使得AB、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程),并寫出這個(gè)最小值.

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【題目】如圖1,拋物線y-x2+x+x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C將直線AC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,交y軸于點(diǎn)D,交拋物線于另一點(diǎn)E

(1)求直線AE的解析式;

(2)點(diǎn)F是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△FAD的面積最大時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)如圖2,將△ACD沿射線AE方向以每秒個(gè)單位的速度平移,記平移后的△ACD為△A′C′D,平移時(shí)間為t秒,當(dāng)△ACE為等腰三角形時(shí),求t的值.

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【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn),垂足為點(diǎn),交直線于點(diǎn)

(問題發(fā)現(xiàn))(1)如圖1,若點(diǎn)的延長(zhǎng)線上,試猜想,之間的數(shù)量關(guān)系為_______;

(類比探究)(2)如圖2,若點(diǎn)在線段上,試猜想,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(拓展應(yīng)用)(3)當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí),直接寫出線段的長(zhǎng)度.

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【題目】某同學(xué)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查,隨機(jī)抽查了某個(gè)小區(qū)的200戶家庭的年收入,并繪制成統(tǒng)計(jì)圖(如圖).請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖給出的信息回答:

1)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____,眾數(shù)是_____;

2)這200戶家庭的平均年收入為_____萬元;

3)在平均數(shù)、中位數(shù)兩數(shù)中,_____更能反映這個(gè)小區(qū)家庭的年收入水平.

4)如果該小區(qū)有1200戶住戶,請(qǐng)你根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果估計(jì)該小區(qū)有_____戶家庭的年收入低于1.3萬元?

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【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是第一象限拋物線上的點(diǎn),連接OP交直線AB于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,PQ與OQ的比值為y,求y與m的關(guān)系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值;

(3)點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接OD、CD,設(shè)ODC外接圓的圓心為M,當(dāng)sinODC的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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【題目】如圖,在矩形邊上取一點(diǎn)沿折疊,頂點(diǎn)正好落在邊的中點(diǎn)上,設(shè)

1)直接寫出的值和的度數(shù);

2)求證:直線是以為直徑的的切線;

3)連接于點(diǎn)的邊上的高.

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【題目】如圖,AB⊙O的直徑,點(diǎn)F、C⊙O上且, 連接AC、AF,過點(diǎn)CCD⊥AFAF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

(1)求證:CD⊙O的切線;

(2), CD=4,求⊙O的半徑.

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q兩點(diǎn)分別從A,B同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿折線AB﹣BC運(yùn)動(dòng),在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2cm/s;點(diǎn)Q在BD上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PN⊥AD,垂足為點(diǎn)N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s),PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2

(1)當(dāng)PQ⊥AB時(shí),x等于多少;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;

(3)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分時(shí),直接寫出x的值.

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