Question

11．在△ABC中，tan∠B=$\frac{2}{3}$，AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，則線段BC的長為4或2．

Answer 1

分析 此題分兩種情況：如圖1，過A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知條件tan∠B=$\frac{2}{3}$，設AD=3x，BD=4x，根據勾股定理求出x的值，從而得出AD=2，BD=3，在Rt△ADC中，根據勾股定理得出CD=3，于是得到結果；如圖2，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，同理可得結果．

解答 解：如圖1，過A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=$\frac{2}{3}$，
∴設AD=2x，BD=3x，
∵AD²+BD²=AB²，
∴（2x）²+（3x）²=（$\sqrt{13}$）²，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC=BD+CD=4；
如圖2，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=$\frac{2}{3}$，
∴設AD=2x，BD=3x，
∵AD²+BD²=AB²，
∴（2x）²+（3x）²=（$\sqrt{13}$）²，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC=BD-CD=2；
故答案為：4或2．

點評 本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．