Question

已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．
（1）如圖1，求證：CD⊥AB；
（2）請(qǐng)寫出你在（1）的證明過程中應(yīng)用的兩個(gè)互逆的真命題；
（3）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)，
①如圖2，若∠B=34°，求∠A′CB的度數(shù)；
②若∠B=n°，請(qǐng)直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，則∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根據(jù)垂直的定義得CD⊥AB；
（2）有（1）得到兩個(gè)互逆的真命題為：直角三角形中兩銳角互余；兩銳角互余的三角形為直角三角形；
（3）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②與①的計(jì)算方法一樣．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）兩個(gè)互逆的真命題為：直角三角形中兩銳角互余；兩銳角互余的三角形為直角三角形；

（3）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=n°，
∴∠ACD=n°，
∴∠BCD=90°-n°，
∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)，
∴∠A′CD=∠ACD=n°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-n°-n°=90°-2n°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．