Question

如圖，BD是⊙O的切線，AB是⊙O的弦，且OA⊥OD．
（1）求證：BD=CD；
（2）當(dāng)OC=1，BD=4時(shí)，求BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和利用等邊對(duì)等角得到∠DCB=∠DBC，進(jìn)而可證明BD=CD；
（2）過D作DE垂直于BC于E，利用三線合一得到E為BC中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)頂角相等以及一對(duì)直角相等得到三角形AOC與三角形CDE相似，由相似得比例，根據(jù)CD，AC與OC的長，即可求出BC的長．

解答：（1）證明：連接OB，
∵BD是⊙O的切線，
∴∠OBD=∠AOD=90°，
∴∠ACO+∠AC=∠OBA+∠CBD，
∵OA=OB，∠ACO=∠DCB，
∴∠OAC=∠OBA，
∴∠DBC=∠ACO=∠DCB，
∴CD=DB；
（2）過D作DE垂直于BC于E，
∵OC=1，CD=BD=4，
∴OD=5，
∴OB=

52-42

=3，
∴OA=OB=3，
∴AC=

32+12

=

10

，
∵∠ACO=∠DCE，∠AOC=∠DEO=90°
∴△AOC∽△DEC，
∴

AC

CD

=

OC

EC

，
∴EC=

2

5

10

，
∴BC=

4

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．