Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作CD的垂線交AB于點(diǎn)P，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．點(diǎn)F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求證：AM=2MB；
（2）試猜想∠MPB與∠FCM數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接MD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得MD=MC，然后利用“邊邊邊”證M明△MFC與△MAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MAD=∠MFC，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求出∠BAD，然后求出∠BAM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半證明；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠BMP=∠FMD=∠DMA，然后用∠BMP表示出∠FCM，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解．

解答：（1）證明：連接MD，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，ME⊥D，
∴MD=MC，
在△MFC與△MAD中，

MF=MA MC=MD CF=AD

，
∴△MFC≌△MAD（SSS），
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠BAM=∠MAD-∠BAD=120°-90°=30°，
∵∠ABM=90°，
∴AM=2MB；

（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．
理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，
∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，
∴∠BMP=

1

2

∠FCM，
∵∠ABC=90°，
∴∠MPB+∠BMP=90°，
∴∠MPB+

1

2

∠FCM=90°，
∴2∠MPB+∠FCM=180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．