Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx經(jīng)過點A（4，0）．直線x=2與x軸交于點C，點E是直線x=2上的一個動點，過線段CE的中點G作DF⊥CE交拋物線于D、F兩點．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）當點E落在拋物線頂點上時，求DF的長．
（3）當四邊形CDEF是正方形時，求點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A點的坐標代入拋物線的解析式，求出b的值即可得到拋物線的解析式；
（2）由（1）可知拋物線的頂點坐標，因為G是EC中點，由此可求出G的縱坐標，代入拋物線的解析式可求出F和D的橫坐標，進而可求出DF的長；
（3）四邊形CDEF是正方形時可設設E（2，2m），則F（2-m，m），把F點的坐標代入解析式即可求出m的值，進而可求出點E的坐標．

解答：解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+4x．           

（2）由（1）可知拋物線的頂點坐標為（2，4）．      
∵G是EC的中點，
∴當y=2時，-x²+4x=2．
∴x₁=2-

2

，x₂=2+

2

，．                  
∴DF=2+

2

-（2-

2

）=2

2

．                   

（3）設E（2，2m），則F（2-m，m）．                
∵點F在拋物線上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=

-1± 17

2

，2m=-1±

17

．             
∴E₁（2，-1+

17

），E₂=（2，-1-

17

）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程以及正方形的性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等．