Question

（1）學(xué)習(xí)心得：小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=

 

．
（2）問題解決：
如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度數(shù)．
（3）問題拓展：
拋物線y=-

1

4

(x-1)2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連接BQ．
①若含45°角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一頂點(diǎn)E在PQ上，求Q的坐標(biāo)；
②若含30°角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，
（3）①先求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)D、C、Q、E共圓，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
②分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，Ⅱ、當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，運(yùn)用點(diǎn)D、C、Q、E共圓，求出CQ即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入拋物線求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AC，
∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=40°，
（2）如圖2，

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，
（3）①如圖3

∵點(diǎn)B為拋物線y=-

1

4

(x-1)2+3的頂點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），
∵45°角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一頂點(diǎn)E在PQ上，
∴點(diǎn)D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=45°，
∴CQ=BC=3，
∴OQ=4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0），
②如圖4，

Ⅰ、當(dāng)30°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵直角三角板30°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上
∴點(diǎn)D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=60°，
∴CQ=

3

3

BC=

3

，
∴OQ=1+

3

，
∴把1+

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=

9

4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

3

，

9

4

）
Ⅱ、如圖5，

當(dāng)60°的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵直角三角板60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上
∴點(diǎn)D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=30°，
∴CQ=

3

BC=3

3

，
∴OQ=1+3

3

，
∴把1+3

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=-5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+3

3

，-5）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

3

，

9

4

）或（1+3

3

，-5）．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵就是運(yùn)用同弦對的圓周角相等．