已知M、N為雙曲線y=
4
x
（x＞0）上的兩點，且其橫坐標分別為a、a+2，分別過M、N作y軸、x軸的垂線，相交于點B，垂足分別為點C、A，連接OM、ON、MN，把△OMN的面積與△BMN的面積分別記為S△OMN、S△BMN．
（1）若矩形OABC的面積為12，求a的值，并求出此時的S△OMN：S△BMN；
（2）隨著a的取值不同，M，N兩點不斷運動，當M為BC邊中點時，a=
 
，此時S△OMN：S△BMN=
 
；
（3）結(jié)合（1）、（2）的計算結(jié)果，試猜想S△OMN：S△BMN的值（用含a的式子表示），并說明理由．
考點：反比例函數(shù)綜合題,分式的混合運算,解分式方程,反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,矩形的性質(zhì)
專題：探究型
分析：（1）由M、N在雙曲線y=
4
x
上，且xM=a，xN=a+2，可得yM=
4
a
，yN=
4
a+2
，從而得到OC=
4
a
，OA=a+2，由矩形OABC的面積為12即可求出a的值，就可求出線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，從而求出S△OMN、S△BMN的值，進而求出S△OMN：S△BMN的值．
（2）當M為BC邊中點時，易求出a的值，就可求出線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，從而求出S△OMN、S△BMN的值，進而求出S△OMN：S△BMN的值．
（3）結(jié)合（1）、（2）的計算結(jié)果，可猜想S△OMN：S△BMN的值為a+1．先用a的代數(shù)式表示線段CM、OC、OA、AN、BN、BM的長，然后用a的代數(shù)式表示S△OMN、S△BMN的值，就可求出S△OMN：S△BMN的值．
解答：解：（1）∵M、N在雙曲線y=
4
x
上，xM=a，xN=a+2，
∴yM=
4
a
，yN=
4
a+2
．
∴CM=a，OC=
4
a
，OA=a+2，AN=
4
a+2
．
∵S矩形OABC=OA•OC=12，
∴（a+2）•
4
a
=12．
解得：a=1．
經(jīng)檢驗：a=1是方程的解．
∴a的值為1．
∴CM=1，OC=4，OA=3，AN=
4
3
．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=3．
∴BM=2，BN=
8
3
．
∴S△BMN=
1
2
BM•BN=
1
2
×2×
8
3
=
8
3
．
∵S△OCM=
1
2
CM•OC=
1
2
×1×4=2，
S△OAN=
1
2
OA•AN=
1
2
×3×
4
3
=2，
∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
=12-
8
3
-2-2=
16
3
．
∴S△OMN：S△BMN=
16
3
：
8
3
=2．

（2）當M為BC邊中點時，CM=BM．
∴a=a+2-a=2．
∴CM=2，OC=2，OA=4，AN=1．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，BC=OA=4．
∴BM=2，BN=1．
∴S△BMN=
1
2
BM•BN=
1
2
×2×1=1．
∵S△OCM=
1
2
CM•OC=
1
2
×2×2=2，
S△OAN=
1
2
OA•AN=
1
2
×4×1=2，
S矩形OABC=OA•OC=4×2=8，
∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
=8-1-2-2=3．
∴S△OMN：S△BMN=3：1=3．
故答案為：2、3．

（3）猜想：S△OMN：S△BMN的值為a+1．
證明：∵四邊形OABC是矩形，OC=
4
a
，OA=a+2，
∴AB=OC=
4
a
，BC=OA=a+2．
∵CM=a，AN=
4
a+2
，
∴BM=a+2-a=2，BN=
4
a
-
4
a+2
=
8
a(a+2)
．
∴S△BMN=
1
2
BM•BN=
1
2
×2×
8
a(a+2)
=
8
a(a+2)
．
∵S△OCM=
1
2
CM•OC=
1
2
×a×
4
a
=2，
S△OAN=
1
2
OA•AN=
1
2
×（a+2）×
4
a+2
=2，
S矩形OABC=OA•OC=（a+2）×
4
a
=
4a+8
a
．
∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
=
4a+8
a
-
8
a(a+2)
-2-2
=4+
8
a
-
8
a(a+2)
-4
=
8
a
-
8
a(a+2)

=
8a+8
a(a+2)
．
∴S△OMN：S△BMN=
8a+8
a(a+2)
：
8
a(a+2)
=a+1．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、分式的運算、解分式方程等知識，考查了用割補法求不規(guī)則圖形的面積，本題讓學生經(jīng)歷嘗試、歸納、猜想、證明等科學探究過程，是一道好題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（　�。�
A、x2-6x+9=（x-3）2
B、（x+3）（x-1）=x2+2x-3
C、x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x
D、6ab=2a•3b

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖：
（1）將△ABC向右平移5個單位長度得到△A1B1C1；
（2）作出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2；
（3）作出△ABC關于原點O對稱的△A3B3C3；
（4）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB4C4．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
364
-|
3
-3|+
36
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

線段AB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，O為坐標原點．
（1）以O為位似中心，按比例尺3：1將線段AB放大，在網(wǎng)格中畫出放大后的對應圖形線段CD；
（2）若點P（a，b）是線段AB上的任意一點，點Q是直線OP與線段CD的交點，寫出點Q的坐標（
 
，
 
）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=
1
3
x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）點M在拋物線上，連接MB，當∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；
（3）點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當Q點到達C點時，P、Q同時停止運動，試問在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

解方程組或不等式（組） 
①
6x+3y=3
2y-5x=-7
；
②解不等式組
5x-9＜3(x-1)
1-
3
2
x≤
1
2
x-1
，并寫出它的整數(shù)解．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（0，1），且過點（-1，
5
4
），直線y=kx+2與y軸相交于點P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）對（1）中的二次函數(shù)，當自變量x取值范圍在-1＜x＜3時，請寫出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說明理由）
（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．
（注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）
附：閱讀材料
   任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比．
   即：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，
   則：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a

   能靈活運用這種關系，有時可以使解題更為簡單．
   例：不解方程，求方程x2-3x=15兩根的和與積．
   解：原方程變?yōu)椋簒2-3x-15=0
∵一元二次方程的根與系數(shù)有關系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a

∴原方程兩根之和=-
-3
1
=3，兩根之積=
-15
1
=-15．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

x，y為實數(shù)，且滿足
x-1
+（3x+y-1）2=0，則
5x+y2
=
 
．

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