Question

（1）問(wèn)題背景：
如圖1，點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�
作法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
（2）實(shí)踐應(yīng)用：
如圖2，等邊三角形中，E是AB的中點(diǎn)，P為高AD上一點(diǎn)，AD=3，求BP+PE的最小值．
（3）拓展延伸：
如圖3，∠AOB=30°，P是四邊形OACB內(nèi)一定點(diǎn)，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQR周長(zhǎng)的最小值為5時(shí)，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可證得線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．
（2）由（1）可知CE就是BP+PE的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)R、Q在CD上時(shí)，△PQR周長(zhǎng)的值最小，最小值為CD的長(zhǎng)，根據(jù)CD的長(zhǎng)即可求得OP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖1，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以線段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．

（2）如圖2，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，
∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，∠ABC=60°，
∴PB=PC，
∴EC就是BP+PE的最小值，
∵等邊三角形中，E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，
∴CE=AD=3，
∴BP+PE的最小值為3；

（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接OC、OD．
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PQ=CQ，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PR=DR，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD．
∴OP=CD，
∵△PQR周長(zhǎng)的最小值=PQ+QR+PR=CQ+QR+RD=CD，
∴OP=△PQR周長(zhǎng)的最小值=5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．