Question

當(dāng)a取什么整數(shù)時，方程

x

x-2

+

x-2

x

+

2x+a

x(x-2)

=0只有一個實根，并求此實根．

Answer 1

考點：分式方程的解

專題：

分析：先將原方程化為

2x2-2x+4+a

x(x-2)

=0，再分三種情況進(jìn)行討論：（1）若x≠0且x≠2，則2x²-2x+4+a=0，由原分式方程恰有一個實根，得出△=（-2）²-4×2×（4+a）=-28-8a=0，依此求出a的值；（2）若方程2x²-2x+4+a=0，有一個根為x=0，代入求出a=-4，再解方程即可；（3）若方程2x²-2x+4+a=0，有一個根為x=2，代入求出a=-8，再解方程即可．

解答：解：原方程化為

2x2-2x+4+a

x(x-2)

=0．
（1）若x≠0且x≠2，則2x²-2x+4+a=0，
∵原分式方程恰有一個實根，
∴△=0，即△=（-2）²-4×2×（4+a）=-28-8a=0，
則a=-

7

2

，
于是x₁=x₂=

1

2

，
但a取整數(shù)，則舍去；
（2）若方程2x²-2x+4+a=0，有一個根為x=0，則a=-4，
這時原方程為

x

x-2

+

x-2

x

+

2x-4

x(x-2)

=0，
去分母得2x²-2x=0，
解得x=0，x=1，
顯然x=0是增根，x=1是原分式方程的根；
（3）若方程2x²-2x+4+a=0，有一個根為x=2，則a=-8，
這時，原方程為

x

x-2

+

x-2

x

+

2x-8

x(x-2)

=0，
去分母，得2x²-2x-4=0，
解得x=2，x=-1，
顯然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根；
經(jīng)檢驗當(dāng)a=-4時，原方程恰有一個實根x=1；當(dāng)a=-8時，原方程恰有一個實根x=-1．

點評：本題考查了分式方程的解，理解分式方程產(chǎn)生增根的原因進(jìn)而分情況討論是解題的關(guān)鍵．