Question

10．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，E為格點，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點，C為AE，BF的延長線的交點．
（Ⅰ）AE的長等于$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）若點P在線段AC上，點Q在線段BC上，且滿足AP=PQ=QB，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡要說明點P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）AC與網(wǎng)格線相交，得到P，取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)勾股定理即可得到結論；
（Ⅱ）取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．

解答 解：（Ⅰ）AE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）如圖，AC與網(wǎng)格線相交，得到P，取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．
故答案為：AC與網(wǎng)格線相交，得到P，取格點M，連接AM，并延長與BC交于Q，連接PQ，則線段PQ即為所求．
證明：以A為原點建立平面直角坐標系，
則A（0，0），B（6，1.5），E（1，2），F(xiàn)（5，$\frac{7}{2}$），
∴直線AE的解析式y(tǒng)_AE=2x，直線BF的解析式為y_BF=-2x+$\frac{27}{2}$，
設p（m，2m），Q（n，-2n+$\frac{27}{2}$）（0＜m＜n＜6），
∴AP²=m+²（2m）²=5m²，PQ²=（m-n）²+（2m+2n-$\frac{27}{2}$）²
BQ²=（n-60²+（-2n+12）²=5（n-6）²，
∵AP=PQ=BQ，
∴5m²=5（n-6）²=5n²-54m-54n，由5m²=5（n-6）²得m=6-n，m=n-6（舍去），把m=6-n代入得n=4.5，n=$\frac{63}{2}$（舍去），
∴P（1.5，3），Q（4.5，4.5）．

點評 本題考查了作圖-應用與設計作圖，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．