Question

【題目】（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE=BD+CE．

（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求證:△DEF是等邊三角形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）成立，理由見解析；(3)見解析

【解析】

（1）因為DE=DA+AE，故通過證，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE.

（2）成立，仍然通過證明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.

（3）由得BD=AE，，與均等邊三角形，得，FB=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，，再根據(jù)，得，即，故是等邊三角形.

證明：(1)∵BD⊥直線m，CE⊥直線m

∴∠BDA＝∠CEA=90°，∵∠BAC＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD，又AB=AC，∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE

(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α

∴∠DBA=∠CAE，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC

∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF為等邊三角形.