Question

17．如果三角形有一個邊上的中線長恰好等于這個邊的長，那么稱這個三角形是“有趣三角形”，這條中線為“有趣中線”．如圖，在△ABC中，∠C=90°，較短的一條直角邊BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中線”的長．

Answer 1

分析 “有趣中線”分三種情況，兩個直角邊跟斜邊，而直角三角形的斜邊的中點到三頂點距離相等，不符合；兩個直角邊，有一種情況有趣中線為1．但是不符合較短的一條直角邊邊長為1，只能為另一條直角邊上的中線，利用勾股定理求出即可．

解答 解：“有趣中線”有三種情況：
若“有趣中線”為斜邊AB上的中線，直角三角形的斜邊的中點到三頂點距離相等，不合題意；
若“有趣中線”為BC邊上的中線，根據斜邊大于直角邊，矛盾，不成立；
若“有趣中線”為另一直角邊AC上的中線，如圖所示，BC=1，
設BD=2x，則CD=x，
在Rt△CBD中，根據勾股定理得：BD²=BC²+CD²，即（2x）²=1²+x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則△ABC的“有趣中線”的長等于$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題考查了勾股定理、新定義；熟練掌握新定義，由勾股定理得出方程是解本題的關鍵，注意分類討論．