Question

【題目】如圖，已知直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為 （2，O），半徑為2，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值和最大值分別是　 　．

Answer 1

【答案】8﹣2和8+2

【解析】首先由一次函數(shù)解析式求出OA、OB的長(zhǎng)，而△ABE中，BE邊上的高是OA，且OA為定值，所以求△ABE面積的最小值和最大值，轉(zhuǎn)化為求BE的最小值和最大值。過(guò)點(diǎn)A作⊙C的兩條切線AD、AD′，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BE最小，即△ABE面積最小；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D′點(diǎn)時(shí)，BE最大，即△ABE面積最大。最后根據(jù)比例求出BE 、BE′的值，進(jìn)而求出△ABE面積的最小值和最大值．

解：由y=x+4得：

當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣4，

∴OA=4，OB=4，

∵△ABE的邊BE上的高是OA，

∴△ABE的邊BE上的高是4，

∴要使△ABE的面積最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，

過(guò)A作⊙C的兩條切線，如圖，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，BE最小，即△ABE面積最小；

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D′點(diǎn)時(shí)，BE最大，即△ABE面積最大；

∵x軸⊥y軸，OC為半徑，

∴EE′是⊙C切線，

∵AD′是⊙C切線，

∴OE′=E′D′，

設(shè)E′O=E′D′=x，

∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切線，

∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，

∴sin∠CAD′==，

∴=，

解得：x=，

∴BE′=4+，BE=4﹣，

∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4=8﹣2，

最大值是：×（4+）×4=8+2，

故答案為：8﹣2和8+2．