Question

【題目】如圖，直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a（x﹣4）2﹣16（a＞0）交x軸于點(diǎn)E，F（E在F的左邊），交y軸于點(diǎn)C，對稱軸MN交x軸于點(diǎn)H；直線y＝x+b分別交x，y軸于點(diǎn)A，B．

（1）寫出該拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及點(diǎn)C的縱坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）．

（2）若AF＝AH＝OH，求證：∠CEO＝∠ABO．

（3）當(dāng)b＞﹣4時，以AB為邊作正方形，使正方形的另外兩個頂點(diǎn)一個落在拋物線上，一個落在拋物線的對稱軸上，求所有滿足條件的a及相應(yīng)b的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣16），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為16a﹣16；（2）見解析；（3）a＝，b＝﹣2或a＝，b＝﹣1或a＝，b＝4．

【解析】

（1）從拋物線的頂點(diǎn)式就可以知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)令x=0即可．

（2）求證兩個角相等，可以證這兩個角的三角函數(shù)相等．

（3）分情況討論，利用全等三角形找到線段之間的數(shù)量關(guān)系，表示點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式即可求出a、b．

（1）∵拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣16，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，﹣16），

當(dāng)x=0時，y=16a﹣16，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為16a﹣16．

（2）∵D（4，﹣16），

∴OH=4．

∵AF=AH=OH，EH=HF，

∴F（12，0），A（8，0），E（﹣4，0），

將點(diǎn)F代入拋物線解析式得：

∴0=a（12﹣4）2﹣16，a，

將點(diǎn)A代入直線解析式得：8+b=0，b，

將a代入點(diǎn)C的縱坐標(biāo)得：∴16a﹣16=﹣12，

∴C（0，﹣12），OC=12，tan∠CEO3，tan∠OBA3，

∴∠CEO=∠ABO．

（3）分三種情況討論：

①如圖所示．

∵yx+b，當(dāng)x=0時，y=b，

∴B（0，b），

過點(diǎn)E作EG垂直于NF，設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，BG與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H．

∵四邊形EFAB為正方形，可知△EFG≌△ABO（AAS），△FMA≌△ABO（AAS），∴OB=AM=FG=﹣b．

∵拋物線的對稱軸為直線x=4，

∴OA=FM=EG=4﹣b，

∴A（4﹣b，0），E（b，4），

將點(diǎn)A代入直線解析式得：0（4﹣b）+b，解得：b=﹣2，

∴E（﹣2，4），

∴4=a（﹣2﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣2．

②如圖所示．

△OBA≌△AFG（AAS），△OBA≌△BEQ（AAS），

∴OB=EQ=AG=﹣b，

∴OA=FG=BQ=4+b，

∴A（4+b，0），E（﹣b，﹣4），

將點(diǎn)A代入直線解析式得：0（4+b）+b，解得：b=﹣1，

∴E（1，﹣4），將點(diǎn)E（1，﹣4）代入拋物線解析式得：﹣4=a（1﹣4）2﹣16，

解得：a．故a，b=﹣1．

③如圖所示．

△ABO≌△EAG（AAS），△ABO≌△FBH（AAS），

∴OB=BH=AG=4，

∴b=4，

∴OA=12，EG=12，

∴E（﹣8，﹣12），

代入拋物線解析式得：﹣12=a（﹣8﹣4）2﹣16，解得：a．

故a，b=4．

綜上所述：a，b=﹣2或a，b=﹣1或a，b=4．