Question

如圖，在△ABC中，CA=CB，O為外心，I為內(nèi)心，D為BC上的點，且BI⊥DO．
（1）證明：B、I、O、D四點共圓；
（2）證明：ID∥AC．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：證明題

分析：（1）延長CO交AB于E，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得到CE⊥AB，則∠ACE=∠7，再利用內(nèi)心的定義可判斷點I在CE上，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得∠3=∠CBI，由BI⊥DO得到∠1+∠4=90°，利用等角的余角相等可證得∠1=∠3，則∠1=∠CBI，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠1+∠DOI=180°，所以∠DBI+∠DOI=180°，于是可根據(jù)四點共圓的判定方法得到B、I、O、D四點共圓；
（2）連接BO，如圖2，根據(jù)圓周角定理得∠2=∠6，再利用點O為外心得OC=OB，則∠7=∠OBC，利用三角形外角性質(zhì)得∠6=2∠7，而∠7=

1

2

∠ACB，所以∠2=∠ACB，于是根據(jù)平行線的判定定理得到ID∥AC．

解答：證明：（1）延長CO交AB于E，如圖1，
∵CA=CB，O為外心，
∴CE⊥AB，
∴AE平分∠ACB，即∠ACE=∠7，
∵I為內(nèi)心，
∴點I在CE上，BI平分∠ABC，
∴∠3=∠CBI，
∵BI⊥DO，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，∠4=∠5，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠CBI，
而∠1+∠DOI=180°，
∴∠DBI+∠DOI=180°，
∴B、I、O、D四點共圓；
（2）連接BO，如圖2，
∵B、I、O、D四點共圓，
∴∠2=∠6，
∵點O為外心，
∴OC=OB，
∴∠7=∠OBC，
∴∠6=2∠7，
而∠7=

1

2

∠ACB，
∴∠2=∠ACB，
∴ID∥AC．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握三角形內(nèi)心與外心的性質(zhì)、圓周角定理、四點共圓的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)；會運用平行線的判定定理證明兩直線平行．