Question

如圖1，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）k=

 

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請利用圖2，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，求它們的面積和；
（3）設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達(dá)式的最大值．

解答：解：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x+k中得k=-3
∴y=x²-2x-3，
令y=0，
即x²-2x-3=0，
解得 x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
故答案是：-3；（-1，0）；（3，0）；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4）．
如圖1，連接OM、AC、CM、MB．
則S_△AOC=

3

2

，S_△MOC=

3

2

，
S_△MOB=6，
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_△MOC+S_△MOB=9．

（3）如圖2，設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面積=

3

2

，△DOC的面積=

3

2

m，
△DOB的面積=-

3

2

（m²-2m-3），
∴S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_△DOC+S_△DOB
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在點(diǎn)D（

3

2

，-

15

4

），使四邊形ABDC的面積最大為

75

8

．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及不規(guī)則圖形面積的求法等二次函數(shù)綜合題型．解答（2）題時(shí)，也可過點(diǎn)M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面
積轉(zhuǎn)化為求一個(gè)梯形與兩個(gè)直角三角形面積的和．