Question

11．如圖，O是Rt△ABC斜邊上的中點，將△ABC繞點O旋轉至△DEF位置，對應邊DF與AC交于點M，對應邊EF與BC交于點N．求證：0M⊥0N．

Answer 1

分析 連接AD，CF，OC，OF，根據(jù)直角三角形的性質得到OA=OD=0=OC=OF，由等腰三角形的性質得到∠1=∠3，∠2=∠4，根據(jù)旋轉的性質得到AOD=∠COF，∠1=∠2，求得∠1=∠2=∠3=∠4，推出△AOD≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質得到∠OAD=∠OFC，得到∠7=∠8，通過△ADM≌△CFM，得到DM=CM，推出△DOM≌△COM，根據(jù)全等三角形的性質得到∠DOM=∠COM，同理∠FON=∠BON，即可得到結論．

解答 證明：連接AD，CF，OC，OF，
∵∠ACB=∠DFE=90°，O是Rt△ABC斜邊上的中點，
∴OA=OD=0=OC=OF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵將△ABC繞點O旋轉至△DEF位置，
∴∠AOD=∠COF，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
在△AOD與△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{∠AOD=∠COF}\\{OD=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COF，
∴∠OAD=∠OFC，AD=CF，
∴∠1+∠7=∠4+∠8，
∴∠7=∠8，
在△ADM與△FCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠7=∠8}\\{∠5=∠6}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CFM，
∴DM=CM，
在△DOM與△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠2=∠3}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DOM≌△COM，
∴∠DOM=∠COM，同理∠FON=∠BON，
∴∠MON=∠COF+∠COM+∠FON=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴OM⊥ON．

點評 本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．