Question

如圖，把一塊等腰直角三角板ABC放在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)，若∠A=90°，AB=AC，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度至第一象限內(nèi)的△DEF位置，若B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求m、k的值和直線EF的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線EF交y軸于點(diǎn)G，問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得四邊形PGMF是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，利用“AAS”證明△ABO≌△CAH，得到AH=OB=2，CH=OA=4，則OH=OA+AH=6，然后根據(jù)第二象限的坐標(biāo)特征寫出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得D（-4+m），E（m，2），F(xiàn)（-6+m，4），再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到2•m=4（-6+m），解得m=12，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（12，2），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，4），所以k=24，然后利用待定系數(shù)法確定直線EF的解析式；
（3）先確定G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得G點(diǎn)為GF為中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到G點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），利用G點(diǎn)為MP為中點(diǎn)得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（6-x，10），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到10（6-x）=24，解得x=

18

5

，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（

18

5

，0）．

解答：解：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，
∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0）、（0，2）．
∴OA=4，OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
在△ABO和△CAH中

∠AHC=∠BOA ∠CAH=∠ABO CA=AB

，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AH=OB=2，CH=OA=4，
∴OH=OA+AH=6，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，4）；
（2）∵△ABC沿x軸的正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度至第一象限內(nèi)的△DEF位置，
∴D（-4+m），E（m，2），F(xiàn)（-6+m，4），
∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴2•m=4（-6+m），解得m=12，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（12，2），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，4），
∴k=12×2=24，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

24

x

，
設(shè)直線EF的解析式為y=px+q，
把E（12，2），F(xiàn)（6，4）代入得

12p+q=2 6p+q=4

，
解得

p=- 1 3 q=6

，
∴直線EF的解析式為y=-

1

3

x+6；
（3）如圖，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-

1

3

x+6=6，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∵四邊形PGMF為平行四邊形，
∴G點(diǎn)為GF為中點(diǎn)，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
∵G點(diǎn)為MP為中點(diǎn)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（6-x，10），
∵M(jìn)（6-x，10）在反比例函數(shù)y=

24

x

圖象上，
∴10（6-x）=24，解得x=

18

5

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

18

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．