Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為MN（點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上），給出以下判斷：
①當(dāng)MN∥AB時(shí)，CM=AM；
②當(dāng)四邊形CMDN為矩形時(shí)，AC=BC；
③當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，△CMN與△ABC相似；
④當(dāng)△CMN與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
其中正確的是①③（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到∠CMN=∠DMN，CM=DM，根據(jù)等腰扇形的判定和等量代換證明即可；
②根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CM=DM，折疊四邊形CMDN是正方形，根據(jù)任意一個(gè)直角三角形都有一個(gè)內(nèi)接正方形即可得到結(jié)論；
③如圖2，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠CQN=∠DQN=90°，推出∠DCB+∠CNM=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CNM=∠A，即可得到結(jié)論；
④由相似三角形的性質(zhì)得到∠MND=∠CAB，∠MDN=∠MCN=90°，推出C，M，D，N四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠MND，等量代換得到∠ACD=∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到結(jié)論．

解答 解：①∵M(jìn)N∥AB，
∴∠CMN=∠CAB，∠NMD=∠MDA，
由翻折變換的性質(zhì)可知，∠CMN=∠DMN，CM=DM，
∴∠CAB=∠MDA，
∴AM=DM，
∴CM=AM，故①正確；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CM=DM，矩形CMDN是正方形，
又任意一個(gè)直角三角形都有一個(gè)內(nèi)接正方形滿足題意，
故②錯(cuò)誤，
③當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CMN與△ABC相似，
理由如下：如圖2，連接CD，與MN交于點(diǎn)Q，
∵CD是Rt△ABC的中線，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，∠CQN=∠DQN=90°，
∴∠DCB+∠CNM=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CNM=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CBA；故③正確；
④∵△CNM與△ABC相似，
∴∠MND=∠CAB，∠MDN=∠MCN=90°，
∴C，M，D，N四點(diǎn)共圓，
∴∠ACD=∠MND，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，同理CD=BD，
∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
當(dāng)△ABC∽△MNC時(shí)，
點(diǎn)D不是AB的中點(diǎn)，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握翻折變換是一種軸對(duì)稱，翻折前后對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，正確運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．