Question

閱讀下列材料：
如圖1，圓的概念：在平面內(nèi)，線段PA繞它固定的一個端點P旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．就是說，到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上，圓心在P（a，b），半徑為r的圓的方程可以寫為：（x-a）²+（y-b）²=r²，如：圓心在P（2，-1），半徑為5的圓方程為：（x-2）²+（y+1）²=25

（1）填空：
①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為

 

；
②以B（-1，-2）為圓心，

3

為半徑的圓的方程為

 

．
（2）根據(jù)以上材料解決下列問題：
如圖2，以B（-6，0）為圓心的圓與y軸相切于原點，C是⊙B上一點，連接OC，作BD⊥OC垂足為D，延長BD交y軸于點E，已知sin∠AOC=

3

5

．
①連接EC，證明EC是⊙B的切線；
②在BE上是否存在一點P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P點坐標(biāo)，并寫出以P為圓心，以PB為半徑的⊙P的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,圓周角定理,切線的判定

專題：綜合題,閱讀型

分析：（1）根據(jù)閱讀材料中的定義求解；
（2）①根據(jù)垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD，則BE垂直平分OC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EO=EC，則∠EOC=∠ECO，
加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到EC是⊙B的切線；
②由∠BOE=∠BCE=90°，根據(jù)圓周角定理得點C和點O偶在以BE為直徑的圓上，即當(dāng)P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，則sin∠BOE=sin∠AOC=

3

5

，在Rt△BOE中，利用正弦的定義計算出BE=10，利用勾股定理計算出OE=8，則E點坐標(biāo)為（0，8），于是得到線段AB的中點P的坐標(biāo)為（-3，4），PB=5，然后寫出以P（-3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程．

解答：（1）解：①以A（3，0）為圓心，1為半徑的圓的方程為（x-3）²+y²=1；
②以B（-1，-2）為圓心，

3

為半徑的圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=3；
故答案為（x-3）²+y²=1；（x+1）²+（y+2）²=3；

（1）①證明：∵BD⊥OC，
∴CD=OD，
∴BE垂直平分OC，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
∵BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO，
∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，
∴∠BOE=∠BCE=90°，
∴BC⊥CE，
∴EC是⊙B的切線；
②存在．
∵∠BOE=∠BCE=90°，
∴點C和點O偶在以BE為直徑的圓上，
∴當(dāng)P點為BE的中點時，滿足PB=PC=PE=PO，
∵B點坐標(biāo)為（-6，0），
∴OB=6，
∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，
∴∠BEO=∠AOC，
∴sin∠BEO=sin∠AOC=

3

5

，
在Rt△BOE中，sin∠BEO=

OB

BE

，
∴

6

BE

=

3

5

，
∴BE=10，
∴OE=

BE2-OB2

=8，
∴E點坐標(biāo)為（0，8），
∴線段AB的中點P的坐標(biāo)為（-3，4），PB=5，
∴以P（-3，4）為圓心，以5為半徑的⊙P的方程為（x+3）²+（y-4）²=25．

點評：本題了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)；閱讀理解能力也是本題考查的重點；會運用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進行幾何計算．