Question

二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點(diǎn)A₀位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n在y軸的正半軸上，點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…，B_n在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，點(diǎn)C₁，C₂，C₃，…，C_n在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A₀B₁A₁C₁，四邊形A₁B₂A₂C₂，四邊形A₂B₃A₃C₃，…，四邊形A_n-1B_nA_nC_n都是菱形，∠A₀B₁A₁=∠A₁B₂A₂=∠A₂B₃A₃=…=∠A_n-1B_nA_n=60°，則A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

，菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：由于△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都是等邊三角形，因此∠B₁A₀x=30°，可先設(shè)出△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求出A₀的坐標(biāo)，然后表示出B₁的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求得△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)，用同樣的方法可求得△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)各邊長(zhǎng)的特點(diǎn)總結(jié)出此題的一般化規(guī)律，根據(jù)菱形的性質(zhì)易求菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長(zhǎng)．

解答：解：∵四邊形A₀B₁A₁C₁是菱形，∠A₀B₁A₁=60°，
∴△A₀B₁A₁是等邊三角形．
設(shè)△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)為m₁，則B₁（

3 m1

2

，

1

2

m1）；
代入拋物線的解析式中得：

2

3

（

3 m1

2

）²=

1

2

m1，
解得m₁=0（舍去），m₁=1；
故△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)為1，
∴則A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），
同理可求得△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)為2，
…
依此類推，等邊△A_n-1B_nA_n的邊長(zhǎng)為n，
故菱形A_n-1B_nA_nC_n的周長(zhǎng)為4n．
故答案為：（0，1）；4n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解答此題的難點(diǎn)是推知等邊△A_n-1B_nA_n的邊長(zhǎng)為n．