【題目】如圖,拋物線(≠0)與軸交于A(-4,0),B(2,0),與軸交與點C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D為該拋物線上的一個動點,且在直線AC上方,當以A,C,D為頂點的三角形面積最大時,求點D的坐標及此時三角形的面積;
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2;(2)S△ADC的最大值為2,此時D(﹣2,2).
【解析】
(1)根據(jù)A與B坐標設(shè)出拋物線解析式,將C坐標代入即可求出;
(2)過點D作DH⊥AB于點H,交直線AC于點G,連接DC,AD,如圖所示,利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式,設(shè)D橫坐標為m,則有G橫坐標也為m,表示出DH與GH,由DH-GH表示出DG,三角形ADC面積=三角形ADG面積+三角形DGC面積,表示出面積與m的關(guān)系式,利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出面積的最大值,以及此時m的值,即此時D的坐標即可.
(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣2),
把C(0,2)代入得:﹣8a=2,即a=﹣,
則拋物線解析式為y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+2;
(2)過點D作DH⊥AB于點H,交直線AC于點G,連接DC,AD,如圖所示,
設(shè)直線AC解析式為y=kx+t,則有
,
解得:,
∴直線AC解析式為y=x+2,
設(shè)點D的橫坐標為m,則G橫坐標也為m,
∴DH=﹣m2﹣m+2,GH=m+2,
∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m,
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DGAH+DGOH=DGAO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣(m2+4m)=﹣ [(m+2)2﹣4]=﹣(m+2)2+2,
當m=﹣2時,S△ADC取得最大值2,此時yD=﹣×(﹣2)2﹣×(﹣2)+2=2,即D(﹣2,2).
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【題目】我們知道,在平面內(nèi),如果一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合,那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,轉(zhuǎn)的這個角稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角.例如,正方形繞著它的對角線的交點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,它有一個旋轉(zhuǎn)角為.
判斷下列說法是否正確(在相應(yīng)橫線里填上“對”或“錯”)
①正五邊形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,它有一個旋轉(zhuǎn)角為.________
②長方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,它有一個旋轉(zhuǎn)角為.________
填空:下列圖形中時旋轉(zhuǎn)對稱圖形,且有一個旋轉(zhuǎn)角為的是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①正三角形②正方形③正六邊形④正八邊形
寫出兩個多邊形,它們都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,都有一個旋轉(zhuǎn)角為,其中一個是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形;另一個既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:小明同學進入初二以后,讀書越發(fā)認真.
在學習“用因式分解法解方程”時,課后習題中有這樣一個問題:
下列方程的解法對不對?為什么?
解:或.
解得或.
所以,.
同學們都認為不對,原因:有的說該題的因式分解是錯誤的;有的說將答案代入方程,方程左右兩邊不成立,等等.
小明同學除了認為該解法不正確,還給出了一種因式分解的做法,小明同學的做法如下:
取與的平均值,即將與相加再除以2.
那么原方程可化為.
左邊用平方差公式可化為.
再移項,開平方可得
請你認真閱讀小明同學的方法,并用這個方法推導(dǎo):
關(guān)于的方程的求根公式(此時).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】問題背景:如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是 BC,CD 上的點。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BE,EF,FD 之間的數(shù)量關(guān)系。 小王同學探究此問題的方法是,延長 FD 到點 G,使 DG=BE,連結(jié) AG,先證明△ABE≌△ADG, 再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是_________;
探索延伸:如圖2,若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點,且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
實際應(yīng)用:如圖3,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時的速度前進2小時后, 指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達 E,F 處,且兩艦艇之間的夾角為70° ,試求此時兩艦 艇之間的距離。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解同學們對垃圾分類知識的知曉程度,增強同學們的環(huán)保意識,普及垃圾分類及投放的相關(guān)知識.某校環(huán)保社團的同學們設(shè)計了“垃圾分類知識及投放情況”的問卷,并在本校隨機抽取了若干名同學進行了問卷測試,根據(jù)測試成績分布情況,他們將全部成績分成A,B,C,D四組,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | 分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | 60≤x<70 | a | b |
B | 70≤x<80 | 24 | 0.4 |
C | 80≤x<90 | 18 | c |
D | 90≤x<100 | 12 | 0.2 |
請根據(jù)上述統(tǒng)計圖表,解答下列問題:
(1)共抽取了多少名學生進行問卷測試?
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果測試成績不低于80分者為“優(yōu)秀”,請你估計全校2000名學生中,“優(yōu)秀”等次的學生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2cm,E、F分別是AB、AC的中點,動點P從點E出發(fā),沿EF方向勻速運動,速度為1cm/s,同時動點Q從點B出發(fā),沿BF方向勻速運動,速度為2cm/s,連接PQ,設(shè)運動時間為ts(0<t<1),則當t=___時,△PQF為等腰三角形.
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【題目】一輛汽車在某次行駛過程中,油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系,其部分圖象如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫定義域)
(2)已知當油箱中的剩余油量為8升時,該汽車會開始提示加油,在此次行駛過程中,行駛了500千米時,司機發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程,在開往該加油站的途中,汽車開始提示加油,這時離加油站的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】改革開放后,不少農(nóng)村用上了自動噴灌設(shè)備.如圖所示,AB表示水管,在B處有一個自動旋轉(zhuǎn)的噴水頭,一瞬間噴出的水是拋物線狀,建立如圖所示的直角坐標系后,拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+.
(1)當x=1時,噴出的水離地面多高?
(2)你能求出水的落地點距水管底部A的最遠距離嗎?
(3)水管有多高?
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