Question

3．如圖，將矩形ABCD繞對角線的交點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形EFGH，已知AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，則由旋轉(zhuǎn)得到的陰影部分的面積為$\frac{4}{3}$π+4-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AD與HF交于K，AD于HE交于M，根據(jù)矩形的想知道的AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，解直角三角形得到AC=4，∠ADB=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DOK=90°，解直角三角形得到OK=tan30°•OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DK=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，AK=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，O到AD的距離=1，根據(jù)三角形的面積公式求得S_△AOK=$\frac{1}{3}\sqrt{3}$，S_△HKM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$-1，S_扇形AHO=$\frac{1}{3}π$，根據(jù)圖形面積的和差可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)AD與HF交于K，AD于HE交于M，
在四邊形ABCD與四邊形EFGH中，
∵AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=4，∠ADB=30°，
∴OD=2，
∵將矩形ABCD繞對角線的交點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形EFGH，
∴∠DOK=90°，
∴OK=tan30°•OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DK=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AK=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵O到AD的距離=1，
∴S_△AOK=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$×1=$\frac{1}{3}\sqrt{3}$，
∵HM=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$-2）=$\sqrt{3}$-1，
∴MK=tan30°×HM=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△HKM=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$-1，
S_扇形AHO=$\frac{30•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}π$，
∴陰影部分的面積=4×（$\frac{1}{3}π$-$\frac{1}{3}\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$+1）=$\frac{4}{3}$π+4-4$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$π+4-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形和扇形面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．