Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，延長AD交EC于點F．
（1）求證：四邊形ABCF是矩形；
（2）若AD=2，BC=3，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出DE=DC，∠EDC=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠AFC=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，
∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，
∵將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，
∴DE=DC，∠EDC=90°，
∴∠EDF=45°=∠FDC，
∴DF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，
∴四邊形ABCF是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴DF=3-2=1，
∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=∠EDF=45°，
∴DF=EF=1，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+F{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．