【題目】如圖,拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(﹣3,0)、點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)OD交線段AC于點(diǎn)E.
(1)求這條拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求∠ACB的正切值;
(3)當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3,所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1,4);(2)2;(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(,)或(﹣,2)
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)解析式求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H,構(gòu)造直角和直角,利用勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長度,從而利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可;
(3)過點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K,構(gòu)造直角,設(shè),則并由題意可知點(diǎn)D位于第二象限,由于是公共角,所以當(dāng)與相似時(shí),有2種情況:①,即,由銳角三角函數(shù)的定義列出比例式,即可得到D點(diǎn)坐標(biāo),②,即,由銳角三角函數(shù)的定義列出比例式,即可得到D點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)設(shè)拋物線解析式為:,將點(diǎn),,分別代入得:
,解得:
故拋物線解析式為:
由于
所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是;
(2)如圖1,過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H
∵,OA=OC=3
∴,
∵
∴
∴
∵在直角中,,AB=4
∴
∴
∵
∴;
(3)如圖2,過點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K
設(shè),則.并由題意知點(diǎn)D位于第二象限
∴,
∵∠BAC是公共角
∴當(dāng)與相似時(shí),有2種情況:
①∠AOD=∠ABC
∴
∴=3,解得x1=,x2=,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x1=,x2=時(shí)原分式方程有意義
∵點(diǎn)D位于第二象限
∴x2=舍去
∴;
②∠AOD=∠ACB
∴
∴=2,解得,,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng),時(shí)原分式方程有意義
∵點(diǎn)D位于第二象限
∴舍去
∴
綜上所述,當(dāng)與相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)是或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)和點(diǎn)A(0,﹣3),將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位,得到點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線C1的對(duì)稱軸;
(3)把拋物線C1沿x軸翻折,得到一條新拋物線C2,拋物線C2與拋物線C1組成的圖象記為G,若圖象G與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),結(jié)合圖象,求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一張半徑為的圓形紙片,點(diǎn)為圓心,將該圓形紙片沿直線折疊,直線交于兩點(diǎn).
(1)若折疊后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn),利用直尺和圓規(guī)在圖中作出滿足條件的一條直線(不寫作法,保留作圖痕跡),并求此時(shí)線段的長度.
(2)已知是一點(diǎn),.
①若折疊后的圓弧經(jīng)過點(diǎn),則線段長度的取值范圍是________.
②若折疊后的圓弧與直線相切于點(diǎn),則線段的長度為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點(diǎn)D在邊AB上.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí),求證DE=EB;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí),猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí),EH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點(diǎn)G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,OC交AB于點(diǎn)D,若CD=OD,則△AOD與△BCD的面積比為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以,為邊在的同側(cè)作菱形和菱形.點(diǎn),,在一條直線上,,、分別是對(duì)角線、的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí),點(diǎn)、之間的距離最短為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解該校初三學(xué)生居家學(xué)習(xí)期間參加“網(wǎng)絡(luò)自習(xí)室”自主學(xué)習(xí)的情況,隨機(jī)抽查了部分學(xué)生在兩周內(nèi)參加“網(wǎng)絡(luò)自習(xí)室”自主學(xué)習(xí)的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題.
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)部分學(xué)生在兩周內(nèi)參加“網(wǎng)絡(luò)自習(xí)室”自主學(xué)習(xí)天數(shù)的眾數(shù)為______,中位數(shù)為________;
(3)如果該校初三年級(jí)約有名學(xué)生,請你估計(jì)在這兩周內(nèi)全校初三年級(jí)可能有多少名學(xué)生參加“網(wǎng)絡(luò)自習(xí)室”自主學(xué)習(xí)的天數(shù)不少于天.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜市場為指導(dǎo)某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售,對(duì)往年的市場行情和生產(chǎn)情況進(jìn)行了調(diào)查,提供的信息如下:
信息1:售價(jià)和月份滿足一次函數(shù)關(guān)系,如下表所示.
月份 | … | 3 | 6 | … |
售價(jià) | … | 5 | 3 | … |
信息2:成本和月份滿足二次函數(shù)關(guān)系,并且知道該種蔬菜在6月成本達(dá)到最低為1元/千克,9月成本為4元/千克.
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)在7月,這種蔬菜的成本是多少元每千克?
(2)在過去的一年中,某商家平均每天賣出該種蔬菜,則哪個(gè)月的利潤最大,最大利潤為多少?(一個(gè)月按30天計(jì)算)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上,點(diǎn)D為AC邊上的一點(diǎn).
(1)線段AC的長為 .
(2)在如圖所示的網(wǎng)格中,AM是△ABC的角平分線,在AM上求一點(diǎn)P,使CP+DP的值最小,請用無刻度的直尺,畫出AM和點(diǎn)P,并簡要說明AM和點(diǎn)P的位置.
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