Question

9．企業(yè)的工業(yè)廢料處理有兩種方式，一種是運送到垃圾廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設備進行處理．某企業(yè)去年每月的工業(yè)廢料均為120噸，由于垃圾廠處于調試階段，處理能力有限，該企業(yè)采取兩種處理方式同時進行．
1至6月，該企業(yè)向垃圾廠運送的工業(yè)廢料y₁（噸）與月份x（1≤x≤6，且x取整數）之間滿足的函數關系如表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6
運送的工業(yè)廢料y1（噸）	120	60	40	30	24	20

7至12月，該企業(yè)自身處理的工業(yè)廢料y₂（噸）與月份x（7≤x≤12，且x取整數）之間滿足y₂=ax²+c（a≠0），其圖象如圖所示．
1至6月，垃圾廠處理每噸工業(yè)廢料的費用z₁（元） 與月份x之間滿足函數關系式：z₁=60x，該企業(yè)自身處理每噸工業(yè)廢料的費用z₂（元）與月份x之間滿足函數關系式：z₂=45x-5x²；7至12月，垃圾廠處理每噸工業(yè)廢料的費用均為120元，該企業(yè)自身處理每噸工業(yè)廢料的費用均為90元．
（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，分別直接寫出y₁、y₂與x之間的函數關系式；
（2）求該企業(yè)去年哪個月用于工業(yè)廢料處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；
（3）今年以來，由于企業(yè)的自身設備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產能并將所有工業(yè)廢料全部自身處理，估計擴大產能后今年每月的工業(yè)廢料量都將在去年每月的基礎上增加 m%，同時每噸工業(yè)廢料處理的費用將在去年12月份的基礎上增加m%．為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，國家財政對該企業(yè)處理工業(yè)廢料的費用進行了50%的補助，若該企業(yè)每月的工業(yè)廢料處理費用為12150元，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據表格可知y₁與x成反比例函數，從而可以得到y(tǒng)₁與x的函數解析式；由函數圖象知y₂=ax²+c過點（7，19），（12，114），從而可以得到y(tǒng)₂與x之間的函數關系式；
（2）根據題意和第（1）問中求得的函數關系可以分別表示出當1≤x≤6，且x取整數時，W與x的函數關系式和當7≤x≤12時，且x取整數時，W與x之間的函數關系式，從而可以分別求相應的最大值，從而可以得到哪個月的費用最多；
（3）根據題意可以列出關于m的方程，從而可以得到m的值．

解答 解：（1）由圖表可知，y₁與x成反比例函數，設${y}_{1}=\frac{k}{x}$，
∵點（1，120）在此反比例函數上，
∴$120=\frac{k}{1}$，得k=120，
∴y₁=$\frac{120}{x}$（1≤x≤6，且x取整數）；
∵由函數圖象可知，y₂=ax²+c過點（7，19），（12，114），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×{7}^{2}+c=19}\\{a×1{2}^{2}+c=114}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-30}\end{array}\right.$ 
∴y₂=x²-30（7≤x≤12，且x取整數）；
（2）由題意可得，
當1≤x≤6，且x取整數時：W=60x×$\frac{120}{x}$+$（45x-5{x}^{2}）（120-\frac{120}{x}）$=-600x²+6000x+1800=-600（x-5）²+16800，
∴當x=5時，W_最大=16800（元）；
當7≤x≤12時，且x取整數時，W=120×[120-（x²-30）]+90×（x²-30）=-30x²+15300，
∴當x=7時，W_最大=13830（元），
∵16800＞13830，
∴去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是16800元；
（3）由題意可得，
120（1+m%）×90×（1+m%）×（1-50%）=12150，
解得，m=50或m=-250（舍去），
即m的值是50．

點評 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，能將二次函數化為頂點式，會求在相應的自變量x的取值范圍內，函數相應的最大值，注意第（3）問中m的值是正值，不能是負值．