Question

11．已知拋物線y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求$\frac{m}{n}$的值；
（2）若該交點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)A（m-2n，n）和點(diǎn)P（a，p）都在拋物線y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn上，點(diǎn)Q（a，q）在直線OA上，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤3時(shí)，求線段PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到△=（m-2n）²-4•$\frac{1}{4}$mn=0，可解得m-4n=0或m-n=0，于是得到$\frac{m}{n}$的值為4或1；
（2）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上得到m=4n，則A（2n，n），再把A（2n，n）代入y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）可求出n=1，所以拋物線解析式為y=x²-2x+1，A（2，1），則P（a，a²-2a+1），Q（a，$\frac{1}{2}$a），易得直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，接著通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），如圖，然后分類討論：當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤2時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$a-a²+2a-1=-（a-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，利用而此函數(shù)的性質(zhì)得a=$\frac{5}{4}$時(shí)，PQ的最大值為$\frac{9}{16}$，當(dāng)2＜a≤3時(shí)，易得a=3時(shí)，PQ最大，最大值為$\frac{5}{2}$，于是可判斷線段PQ的最大值為$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（m-2n）²-4•$\frac{1}{4}$mn=0，
整理得m²-5mn+4n²=0，
（m-4n）（m-n）=0，
所以m-4n=0或m-n=0，
所以$\frac{m}{n}$的值為4或1；
（2）∵拋物線y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在x軸的正半軸上，
∴m-2n＞0，
∴m=4n，
∴A（2n，n），
把A（2n，n）代入y=x²-（m-2n）x+$\frac{1}{4}$mn（n≠0）得4n²-4n²+n²=n，解得n=1或n=0（舍去），
∴拋物線解析式為y=x²-2x+1，A（2，1），
∴P（a，a²-2a+1），Q（a，$\frac{1}{2}$a），
直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
則直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），如圖，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤a≤2時(shí)，PQ=$\frac{1}{2}$a-a²+2a-1=-（a-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，a=$\frac{5}{4}$時(shí)，PQ的最大值為$\frac{9}{16}$，
當(dāng)2＜a≤3時(shí)，易得a=3時(shí)，PQ最大，最大值為9-6+1-$\frac{1}{2}$×3=$\frac{5}{2}$，
∴線段PQ的最大值為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．解決（2）小題的關(guān)鍵是確定拋物線解析式和用a表示PQ的長．