Question

20．已知（1+$\sqrt{7}$）²=8+2$\sqrt{7}$，反之，8+2$\sqrt{7}$=1²+2×1×$\sqrt{7}$+（$\sqrt{7}$）²=（1+$\sqrt{7}$）²，又如，12-4$\sqrt{5}$=12-2×$\sqrt{20}$=（$\sqrt{10}$）²-2×$\sqrt{10}$×$\sqrt{2}$+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）²．參考以上方法解決下列問題：
（1）將6+2$\sqrt{5}$寫成完全平方的形式為（$\sqrt{5}$+1）²；
（2）若一個正方形的面積為8-4$\sqrt{3}$，則它的邊長為（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²；
（3）4+$\sqrt{15}$的算術平方根為$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據拆項法，可得1+2$\sqrt{5}$+5，根據二次根式的性質，可得完全平方公式；
（2）根據拆項法，可得6-4$\sqrt{3}$+2，根據二次根式的性質，可得完全平方公式；
（3）根據拆項法，可得$\frac{15}{2}$+2•$\frac{\sqrt{15}}{2}$+$\frac{1}{2}$，根據二次根式的性質，可得完全平方公式，再根據二次根式的性質，可得答案．

解答 解：（1）6+2$\sqrt{5}$=1+2$\sqrt{5}$+（$\sqrt{5}$）²=（1+$\sqrt{5}$）²；
（2）8-4$\sqrt{3}$=6-4$\sqrt{3}$+2=（$\sqrt{6}$）²-4$\sqrt{3}$+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²；
（3）$\sqrt{4+\sqrt{15}}$=$\sqrt{4+2•\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}+2•\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{\frac{15}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}}$+$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：（$\sqrt{5}$+1）²，（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）²，$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了二次根式的性質與化簡，利用拆項得出完全平方公式是解題關鍵，又利用了二次根式的性質．