Question

17．如圖，A、B、C在一條直線上，△ABD、△BCE均為等邊三角形，連接CD、AE交于點(diǎn)P，并分別交BE、BD于N、M，連按MN，下列結(jié)論中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC；④若AB=2BC，連接DE，則DE⊥BE；⑤BP平分∠APC；⑥將△BCE繞B點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)到一個(gè)角度時(shí)，DN=AM總成立．正確的結(jié)論有①③④⑤（填寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，證得△ABE≌△DBC，由全等三角形的性質(zhì)得到AE=CD，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAP=∠BDC，由A、B、C在一條直線上，求得∠DBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°，推出△ABM≌△DBN，得到AM=DN，BM=BN，由DN＞PD，得到AM＞PD，故②錯(cuò)誤；推出△BMN是等邊三角形，得到∠MNB=60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到MN∥AC，故③正確；取BD的中點(diǎn)O，連接EO，DE，由AB=2BC，得到BD=2BE，證得△BEM是等邊三角形，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BED=90°，得到DE⊥BE；故④正確；過(guò)B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，通過(guò)△ABH≌△DBG，得到BH=BG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BP平分∠APC；故⑤正確；當(dāng)A、B、C在一條直線上時(shí)，∠ABM=∠DBN=60°，∠DBE≠60°，則∠ABM≠∠DBN，于是得到△ABM與△DBN不全等，推出AM≠DN，故⑥錯(cuò)誤．

解答 解：∵△ABD、△BCE均為等邊三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，故①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAP=∠BDC，
∵A、B、C在一條直線上，
∴∠DBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°，
∴∠ABD=∠DBN，
在△ABM與△BDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠BDN}\\{AB=BD}\\{∠ABD=∠DBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM=DN，BM=BN，
∵DN＞PD，
∴AM＞PD，故②錯(cuò)誤；
∵BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BMN是等邊三角形，
∴∠MNB=60°，
∴∠MNB=∠NBC，
∴MN∥AC，故③正確；
取BD的中點(diǎn)O，連接EO，DE，
∵AB=2BC，
∴BD=2BE，
∴BE=BM=DM，
∵∠MBE=60°，
∴△BEM是等邊三角形，
∴EM=BM=DM，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；故④正確；
過(guò)B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，
∴∠AHB=∠DGB=90°，
在△ABH與△DBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BDG}\\{∠AHB=∠DGB}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DBG，
∴BH=BG，
∴BP平分∠APC；故⑤正確；
∵當(dāng)A、B、C在一條直線上時(shí)，∠ABM=∠DBN=60°，
∠DBE≠60°，則∠ABM≠∠DBN，
∴△ABM與△DBN不全等，
∴AM≠DN，故⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，此題圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖，找準(zhǔn)全等的三角形．