Question

8．如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分別為∠BAC和∠ABC的角平分線，若△ABQ的周長為20，BP=4，則AB的長為8．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義求出∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，由等角對等邊得出BQ=CQ，得出BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①；過點P作PD∥BQ，由“角角邊”證明△ABP≌△ADP，由全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AD，BP=PD，得出AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；即可得出AB的長．

解答 解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBQ=∠C，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
過點P作PD∥BQ交CQ于點D，如圖所示：
則∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB，
∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，
∴∠ADP=2∠C，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP與△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ADP}&{\;}\\{∠BAP=∠CAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；
∵△ABQ的周長為20，BP=4，
∴AB+BQ+AQ=AB+BP+AB=20，
∴AB=8；
故答案為：8．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．