Question

12．如圖，AC=BC，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，AC⊥BC，∠MON=45°．
（1）求證：CN+MN=AM．
（2）如圖2，若點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，上結(jié)論是否成立，畫(huà)圖證明．

Answer 1

分析 （1）連接CO，在線(xiàn)段AM上截取AQ=CN，連接OQ，由O為CA、CB的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根據(jù)三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到CO與AB垂直且CO為頂角的平分線(xiàn)，由∠A和∠B求出∠ACB為直角，得到∠OCB也為45°，利用SAS得到三角形AOQ與三角形CON全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代換得到∠QON為直角，又∠MON為45°，所以∠QOM也為45°，得兩角相等，然后由OQ=ON，求出的兩角相等，OM為公共邊，利用SAS得到三角形OQM與三角形MON全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代換即可得證；
（2）在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AQ=CN，同（1）利用兩次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代換得證．

解答 解：（1）連接OC，在AM上截取AQ=CN，連接OQ，
∵AC=BC，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，AC⊥BC，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，
在△AOQ和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠A=∠OCN}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，
∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，$\left\{\begin{array}{l}{OQ=ON}\\{∠MON=∠QOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
∴AM=AQ+QM=CN+MN；

（2）連接OC，延長(zhǎng)CA到Q，使AQ=CN，連接OQ，
∵O為CA、CB的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=135°，即∠OCN=∠QAO=135°，
在△AOQ和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠QAO=∠NCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°，
∴∠AOQ+∠AON=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠QAO=∠NCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
則NM=AQ+AM=CN+AM．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段的和、差、倍、分問(wèn)題通常情況下先在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一段與其中一條線(xiàn)段相等，然后構(gòu)造全等三角形證明剩下的線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段相等，本題的突破點(diǎn)是截取出AQ=CN，構(gòu)造全等三角形，證明QM=NM．