Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，5）兩點(diǎn)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題；
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接AD，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，求出線段EF的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上異于A、C的另外一點(diǎn)，且S_△AEP=S_△AED，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，5）兩點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）先配方得到點(diǎn)D（1，-4），依此可得AE=2，ED=4，根據(jù)勾股定理可求AD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求線段EF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4時(shí)，S_△AEP=S_△AED，依此可得方程求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解．

解答：解：（1）將A（-1，0），B（4，5）代入y=x²+bx+c得，

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得：

b=-2 c=-3

．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以點(diǎn)D（1，-4），
所以AE=2，ED=4，AD=

AE2+ED2

=2

5

因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，
所以EF=

1

2

AD=

5

；

（3）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4時(shí)，S_△AEP=S_△AED，
則（x-1）²-4=4，
解得x=1±2

2

．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

2

，4）或（1-

2

，4）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，配方法，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．