Question

如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，

10

3

）三點，設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點E（x，y）運(yùn)動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？
（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點，F(xiàn)點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，

10

3

）三點，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）由點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示點E到OA的距離，又由S=2S_△OBE=2×

1

2

×OB•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時點E坐標(biāo)只能（2.5，-2.5），而坐標(biāo)為（2.5，-2.5）點在拋物線上，故可判定存在點E，使平行四邊形OEBF為正方形．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0），C（0，

10

3

）三點，則由題意可得：

a+b+c=0 25a+5b+c=0 c= 10 3

，解得

a= 2 3 b=-4 c= 10 3

．
∴所求拋物線的解析式為：y=

2

3

x²-4x+

10

3

．

（2）∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點E到OA的距離．
∵OB是平行四邊形OEBF的對角線，
∴S=2S_△OBE=2×

1

2

×OB•|y|=-5y=-5（

2

3

x²-4x+

10

3

）=-

10

3

x²+20x-

50

3

，
∵S=-

10

3

（x-3）²+

40

3

∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-

10

3

x²+20x-

50

3

（1＜x＜5），S的最大值為

40

3

．

（3）∵當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，
∴此時點E坐標(biāo)只能（

5

2

，-

5

2

），而坐標(biāo)為（

5

2

，-

5

2

）點在拋物線上，
∴存在點E（

5

2

，-

5

2

），使平行四邊形OEBF為正方形，
此時點F坐標(biāo)為（

5

2

，

5

2

）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法、平行四邊形的性質(zhì)以及正方形的判定等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．