Question

7．如圖①，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OD、BD，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，求當(dāng)△OBD面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)和最大面積；
（3）如圖②，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，P為平面上一點(diǎn)，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得DE的長，根據(jù)圖形分割法，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得N₁，B₁，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得P₁點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y=-x的兩點(diǎn)：一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與另一點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}9a+3b=0\\ 16a+4b=4\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}$．
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．
（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，由點(diǎn)B（4，4），得
4=4k₁，解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x．
∵點(diǎn)D在拋物線y=x²-3x上，
∴可設(shè)D（x，x²-3x）．
如圖1：

過D作鉛垂線交OB于E，E（x，x），
∴ED=4x-x²
S=S_△ODE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE•x_B=$\frac{1}{2}$×4（4x-x²）=-2（x-2）²+8，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大=8；
當(dāng)x=2時(shí)，x²-3x=-2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（0，3）．
設(shè)直線A'B的解析式為y=k₂x+3，過點(diǎn)B（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=$\frac{1}{4}$．
∴直線A'B的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3．
∵∠NBO=∠ABO，
∴點(diǎn)N在直線A'B上，
∴設(shè)點(diǎn)N（n，$\frac{1}{4}$n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，
解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合題意，會(huì)去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）．
如圖2，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上，D（2，-2），B₁（4，-4），
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{OP1}{ON1}$=$\frac{OD}{OB1}$=$\frac{1}{2}$，
∴P₂是ON₁的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）．
將△OP₂D沿直線y=-x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P₃，
設(shè)P₂（a，b），由P₃與P₂關(guān)于y=-x對稱，得
b+（-$\frac{45}{32}$）=-[a+（-$\frac{3}{8}$）]=$\frac{3}{8}$-a，
即b=$\frac{3}{8}$，a=$\frac{45}{32}$，
P₃的坐標(biāo)為（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出DE的長是解題關(guān)鍵，又利用了面積的和差；利用解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)，又利用關(guān)于關(guān)于y=-x的兩點(diǎn)：一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與另一點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．