【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)EM并延長(zhǎng)交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)如圖1,求證:AE=DF;

(2)如圖2,若AB=2,過點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G,求證:△GEF是等腰直角三角形;

(3)如圖3,若AB=2,過點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求線段AE長(zhǎng)度的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3 )<AE≤2

【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EAM=∠FDM=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM(ASA),由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2)過點(diǎn)G作GH⊥AD于H,推出四邊ABGH為矩形,得到∠AME+∠AEM=90°,由于∠AME+∠GMH=90°等量代換得到∠AEM=∠GMH,推出△AEM≌△HMG(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=MG,求得∠EGM=45°.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF.即可得到結(jié)論;

(3 )根據(jù)四邊形ABCD是矩形,得到∠A=∠ADC=90°,等量代換得到∠AEM=∠DMC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,代入數(shù)據(jù)求得AE=,當(dāng)E、B重合時(shí),AE最長(zhǎng)為2 ,于是得到結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,

∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴AM=DM,又∠AME=∠FMD,

在△AEM與△DFM中,

∴△AEM≌△DFM(ASA),

∴AE=DF;

(2)如圖2,過點(diǎn)G作GH⊥AD于H,

∴∠A=∠B=∠AHG=90°,∴四邊ABGH為矩形,∴∠AME+∠AEM=90°,

∵M(jìn)G⊥EF,∴∠GME=90°.∴∠AME+∠GMH=90°∴∠AEM=∠GMH,

∵AD=4,M是AD的中點(diǎn),∴AM=2,

∵四邊ABGH為矩形,∴AB=HG=2,∴AM=HG,

在△AEM與△HMG中, ,

∴△AEM≌△HMG(AAS),∴ME=MG,∴∠EGM=45°.

由(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF.

∵M(jìn)G⊥EF,∴GE=GF,∴∠EGF=2∠EGM=90°.

∴△GEF是等腰直角三角形;

(3 )當(dāng)C、G重合時(shí),如圖4,

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∴∠AME+∠AEM=90°.

∵M(jìn)G⊥EF,∴∠EMG=90°,∴∠AME+∠DMC=90°,∴∠AEM=∠DMC,

∴△AEM∽△DMC∴ ,∴ ,∴AE=,

當(dāng)E、B重合時(shí),AE最長(zhǎng)為2,

<AE≤2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)全校班級(jí)個(gè)數(shù)  個(gè) ,并將該條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(2)為了了解肥胖兒重的飲食情況,某校決定從只有2名留守兒童的這些班級(jí)中,任選兩名進(jìn)行調(diào)查,請(qǐng)用列表法或畫樹形圖的方法,求出所選兩名肥胖兒童來自同一個(gè)班級(jí)的概率.

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