Question

已知關(guān)于x的一元二次方程：x²-（2k+1）+4（k-

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）=0．
（1）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a=4，另兩邊長b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先計(jì)算△，化簡得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根x₁=2k-1，x₂=2，則可設(shè)b=2k-1，c=2，然后討論：當(dāng)a、b為腰；當(dāng)b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長．

解答：（1）證明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

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）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵無論k取什么實(shí)數(shù)值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)b=2k-1，c=2，
當(dāng)a、b為腰，則a=b=4，即2k-1=4，解得k=

5

2

，此時(shí)三角形的周長=4+4+2=10；
當(dāng)b、c為腰時(shí)，b=c=2，此時(shí)b+c=a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長為10．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．