Question

已知關于x的一元二次方程：x²-（2k+1）+4（k-

1

2

）=0．
（1）求證：這個方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a=4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,三角形三邊關系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先計算△，化簡得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結論；
（2）利用求根公式計算出方程的兩根x₁=2k-1，x₂=2，則可設b=2k-1，c=2，然后討論：當a、b為腰；當b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關系，最后計算周長．

解答：（1）證明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-

1

2

）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵無論k取什么實數(shù)值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
∴無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；

（2）解：∵x=

2k+1±(2k-3)

2

，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，設b=2k-1，c=2，
當a、b為腰，則a=b=4，即2k-1=4，解得k=

5

2

，此時三角形的周長=4+4+2=10；
當b、c為腰時，b=c=2，此時b+c=a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長為10．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系以及分類討論思想的運用．