Question

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且DE=CF，連結(jié)AF，BE交于點(diǎn)M，過C作CN⊥BE于點(diǎn)N．求證：AM+MN=CN．

Answer 1

分析 由△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，因為∠DAF+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABE=90°，所以∠AMB=90°，再證明△ABM≌△BCN得AM=BN，BM=CN，由此即可證明．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ADC=∠BC=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，
∴∠AMB=90°，
∵∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠NCB=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠BNC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，BM=CN，
∴CN=BN+MN=AM+MN．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，兩次利用全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．