【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx-3過A(-1,0)、B(3,0),直線AD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線AD及拋物線的解析式.
(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸,交拋物線于點(diǎn)H,求線段PH的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時(shí),PH最長?
(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))E,使得P、H、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x﹣1;y=x2﹣2x﹣3;(2)l=-(m-)2+;;(3)存在;(2,﹣2)或(2,﹣4)或(2,﹣1)或(2,﹣5)或(0,﹣3)或(﹣2,﹣1)
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,建立關(guān)于a、b的方程組,解方程組求出a、b的值,就可得出拋物線的解析式;再將x=2代入拋物線求出對應(yīng)的函數(shù)值,得出點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線AD的函數(shù)解析式;
(2)利用兩函數(shù)解析式,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m﹣1),H(m,m2﹣2m﹣3),再列出l與m的函數(shù)解析式,將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),可求得結(jié)果;
(3)利用二次函數(shù)的對稱性,可得出點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo),再根據(jù)(2)可知PH的長是正整數(shù),DE平行且等于PH,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,可知PH=1或2,再分情況討論分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
(1)把A(-1,0)、B(3,0)代入函數(shù)解析式,可求得拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣2x﹣3;
當(dāng)x=2時(shí),y=22﹣2×2﹣3,解得:y=﹣3,即D(2,﹣3).
設(shè)AD的解析式為y=kx+b,將A(-1,0),D(2,﹣3)代入,可得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1;
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m﹣1),H(m,m2﹣2m﹣3),l=(﹣m﹣1)﹣(m2﹣2m﹣3),化簡,得:l=﹣m2+m+2,配方,得:l=-(m-)2+,∴當(dāng)m=時(shí),l=,所以m為時(shí),PH最長為.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到對稱軸上時(shí),則點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,點(diǎn)C在拋物線y=x2﹣2x﹣3上,∴當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-3).
∵PH的長是正整數(shù)及由(2)可知,DE∥PH,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,PH=1或2.
當(dāng)PH=1時(shí),則DE=1,∴-3+1=-2;-3-1=-4,∴點(diǎn)E(2,-2)或(2,-4);
當(dāng)PH=2時(shí),則DE=2,∴-3+2=-1;-3-2=-5,∴點(diǎn)E(2,-1)(2,-5).
同理可得點(diǎn)E(-2,-1).
綜上所述:存在滿足E的點(diǎn),它的坐標(biāo)為(2,﹣2)或(2,﹣4)或(2,﹣1)或(2,﹣5)或(0,﹣3)或(﹣2,﹣1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,在上取點(diǎn),延長到,使得;在上取一點(diǎn),延長到,使得;…,按此做法進(jìn)行下去,第n個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為__________.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象經(jīng)過A(0,﹣2),B(1,0)兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M(m,4).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AM⊥MP?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑是4,點(diǎn)A,B,C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,一個(gè)粒子在軸上及第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng),第1次從運(yùn)動(dòng)到,第2次從運(yùn)動(dòng)到,第3次從運(yùn)動(dòng)到,它接著按圖中箭頭所示的方向運(yùn)動(dòng).則第2019次時(shí)運(yùn)動(dòng)到達(dá)的點(diǎn)為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某型號新能源純電動(dòng)汽車充滿電后,蓄電池剩余電量(千瓦時(shí))關(guān)于已行駛路程 (千米)的函數(shù)圖象.
(1)根據(jù)圖象,直接寫出蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)時(shí)汽車已行駛的路程,當(dāng)時(shí),求1千瓦時(shí)的電量汽車能行駛的路程;
(2)當(dāng)時(shí)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并計(jì)算當(dāng)汽車已行駛180千米時(shí),蓄電池的剩余電量.
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【題目】一邊長為4正方形放在平面直角坐標(biāo)系中,其中為原點(diǎn),點(diǎn)、分別在軸、軸上,為射線上任意一點(diǎn)
(1)如圖1,若點(diǎn)坐標(biāo)為,連接交于點(diǎn),則的面積為__________;
(2)如圖2,將沿翻折得,若點(diǎn)在直線圖象上,求出點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖3,將沿翻折得,和射線交于點(diǎn),連接,若,平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得是以為直角邊的等腰直角三角形,若存在,請求出所有點(diǎn)坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)若此方程的一個(gè)根為1,求的值;
(2)求證:不論取何實(shí)數(shù),此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)都在軸上,點(diǎn)都在直線上,,且,分別是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則的面積是_______.
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