Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在對稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動，連接，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）直線交對稱軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請直接寫出與全等時點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；（3）若與全等，點(diǎn)有四個，坐標(biāo)為，，，．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法，直接將代入解析式即可求解．

（2）由平分，平行即可求出，繼而得出點(diǎn)坐標(biāo)，由直線解析式即可求出與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

（3）由三點(diǎn)的坐標(biāo)可得三邊長，由坐標(biāo)可得和中，則另兩組邊對應(yīng)相等即可，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為；利用兩點(diǎn)間距離公式即列方程求解．

（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

，

解得：，

拋物線的解析式為：．

（2）如圖1，設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn)，

平分，

，

又，

，

，

．

在中，，．

，

；．

①當(dāng)時，直線解析式為：，

依題意得：．

解得：，，

點(diǎn)在對稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動，

點(diǎn)縱坐標(biāo)．

，

②當(dāng)時，直線解析式為：，

同理可求：，

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，

（3）由題意可知：，，，

，

，

，

直線經(jīng)過，，

直線解析式為，

拋物線對稱軸為，而直線交對稱軸于點(diǎn)，

坐標(biāo)為；

，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，

則，

，若與全等，有兩種情況，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，．

故若與全等，點(diǎn)有四個，坐標(biāo)為，，，．