Question

如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形“．如圖2，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．試解答下列問題：
①仔細(xì)觀察，在圖2中有

 

個(gè)以線段AC為邊的“8字形”；
②若∠B=76°，∠C=80°，試求∠P的度數(shù)；
③∠C和∠B為任意角時(shí)AP、DP分別是∠CAB、∠BDC的三等分線，寫出∠P與∠C、∠B之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：①以M為交點(diǎn)的“8字形”有1個(gè)，以O(shè)為交點(diǎn)的“8字形”有2個(gè)；
②根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=

1

2

（∠C+∠B），然后把∠C=80°，∠B=76°代入計(jì)算即可；
③與②的證明方法一樣得到∠P=

1

2

（2∠C+∠B）或∠P=

1

2

（∠C+2∠B）．

解答：解：①3；
故答案為3．
②證明：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=

1

2

（∠C+∠B），
∵∠C=80°，∠B=76°
∴∠P=

1

2

（80°+76°）=78°；    

③∠P=

1

2

（2∠C+∠B）或∠P=

1

2

（∠C+2∠B）．
證明：∵AP、DP分別是∠CAB、∠BDC的三等分線，
∴∠CAP=

1

3

∠BAC，∠BAP=

2

3

∠BAC，∠BDP=

2

3

∠BDC，∠CDP=

1

3

∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=

1

3

∠BDC-

1

3

∠BAC，∠P-∠B=

2

3

∠BDC-

2

3

∠BAC，
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=

1

3

（∠B+2∠C），

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．