Question

已知，等邊△ABC的頂點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，且B（-3，0），C（5，0），

（1）求直線OA的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以8個(gè)單位每秒的速度向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以7個(gè)單位每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PG∥BC交線段OA于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段GQ長(zhǎng)為y，求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；
（3）連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，當(dāng)線段滿足DQ：QP=3：5時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線OA的解析式；
（2）根據(jù)勾股定理可求OA=7，過(guò)G作GK∥AC交x軸于K，分兩種情況：①如圖1，G在Q下方：②如圖2，G在Q上方：進(jìn)行討論可求y與t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）表示出PC=8t，AP=8-8t，PG=5-5t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）∵B（-3，0），C（5，0），
∴BC=8，
∵三角形△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在第一象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，4

3

），
設(shè)直線OA的解析式為y=kx，則k=4

3

，
故直線OA的解析式為y=4

3

x；

（2）根據(jù)（1）勾股定理可求OA=7，
過(guò)G作GK∥AC交x軸于K，AQ=7t，
∵CP=8t，可求OG=7t，
①如圖1，G在Q下方：
GQ=AO-AQ-OG，
則y與t之間的函數(shù)關(guān)系為y=7-7t-7t=7-14t（0＜t＜0.5）
②如圖2，G在Q上方：
GQ=AQ+OG-AO，
則y與t之間的函數(shù)關(guān)系為y=7t+7t-7=14t-7（0.5＜t＜1）

（3）如圖3，則PC=8t，AP=8-8t，PG=5-5t，
∵5DQ-3QP=0，
∴DQ：QP=3：5，
∵△DOQ∽△PGQ，
∴DQ：QP=OQ：QG=3：5，
∵AG=QO，
∴OQ：QA=3：8，
AO=AG+GQ+QO=7，
∴AG=QO=

21

11

，
∴GP=

15

11

，
△CPG∽△CAF，則AF=

15

8

，
△AEF∽△BEC，則AE=

120

79

．

點(diǎn)評(píng)：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．