Question

20．如圖，菱形ABCD中，AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，點E在AB上，AE=4，過點E作EF∥AD，交CD于F，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿線段AB向終點B勻速運動，同時點Q從點E出發(fā)，以相同的速度沿線段EF向終點F勻速運動，設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=5秒時，求PQ的長；
（2）當(dāng)BQ平分∠ABC時，直線PQ將菱形ABCD的周長分成兩部分，求這兩部分的比．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，過P作PM⊥EF，交EF于點M，由題意求出AE，AP，EQ的長，進而求出EP的長，由EF與AD平行，得到一對同位角相等，根據(jù)sinA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出PM的長，再利用勾股定理求出EM的長，即可確定出MQ的長；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖2所示，由BQ為角平分線得到一對角相等，再利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換得到∠EBQ=∠EQB，利用等角對等邊得到EB=EQ，求出t的值，即為AP的長，求出BP與QF的長，根據(jù)AB與CD平行，得到三角形EPQ與三角形FQM相似，由相似得比例求出FM的長，進而求出MD與MC的長，即可確定出兩部分之比．

解答 解：（1）根據(jù)題意畫出圖形，如圖1所示：

過點P作PM⊥EF，垂足為M，
由題意可知AE=4，AP=EQ=5，則EP=1，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠A，即sin∠BEF=sinA=$\frac{4}{5}$，
即$\frac{PM}{EP}$=$\frac{4}{5}$，則PM=$\frac{4}{5}$，
根據(jù)勾股定理得：EM=$\frac{3}{5}$，
則MQ=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$，
在直角三角形PQM中，根據(jù)勾股定理得：PQ=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{22}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖2所示：

∵BQ平分∠ABC，
∴∠EBQ=∠CBQ，
又∵BC∥EF，
∴∠CBQ=∠EQB，
∴∠EBQ=∠EQB，
∴EB=EQ=10-4=6，
則t=6，AP=6，
∴BP=4，QF=4，
設(shè)PQ交CD于點M，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ=∠FMQ，∠PEQ=∠MFQ，
∴△EPQ∽△FMQ，
∴$\frac{EP}{FM}$=$\frac{EQ}{FQ}$，即$\frac{2}{FM}$=$\frac{6}{4}$，
∴FM=$\frac{4}{3}$，
∴MD=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，MC=$\frac{22}{3}$，
∴直線PM分菱形分成的兩部分的周長分別為AP+AD+MD和PB+BC+CM，即菱形的周長被分為$\frac{56}{3}$和$\frac{64}{3}$，
則這兩部分的比為7：8．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．